[論文レビュー] Exact Computation of Minimum Sample size for Estimation of Poisson Parameters

Xinjia Chen|ArXiv.org|Jul 14, 2007

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、所定の信頼水準でポアソン母数を所定の絶対誤差または相対誤差以内に推定するための最小標本サイズを正確に計算する手法を提示する。最小の被覆確率が有限個の臨界点で達成されることを証明することで、無限大のパラメータ探索の非効率性を克服し、有限評価による正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we develop an approach for the exact determination of the minimum sample size for the estimation of a Poisson parameter with prescribed margin of error and confidence level. The exact computation is made possible by reducing infinite many evaluations of coverage probability to finite many evaluations. Such reduction is based on our discovery that the minimum of coverage probability with respect to a Poisson parameter bounded in an interval is attained at a discrete set of finite many values.

研究の動機と目的

• 所定の誤差幅と信頼水準でポアソン母数を推定するために必要な正確な最小標本サイズを特定すること。
• ポアソン母数の無限区間における被覆確率の評価の計算的非効率性に対処すること。
• 絶対誤差、相対誤差、および混合誤差基準の下で、有限で計算可能な標本サイズ決定手法を開発すること。
• 区間 [a,b] 内の離散的かつ有限個のパラメータ値で最小被覆確率が達成されることを理論的に保証すること。
• 科学および工学分野の実用的応用において、正確で漸近的でない標本サイズ計算を可能にすること。

提案手法

• 最小被覆確率が離散的値で達成されることを証明することで、λ ∈ [a,b] における被覆確率の無限評価を、有限個の臨界点への還元する。
• 絶対誤差制御の場合、臨界点は {a, b} ∪ {ℓ/n ± ε ∈ (a,b) : ℓ ∈ ℤ} で構成され、そのサイズは 2n(b−a)+4 より小さい。
• 相対誤差制御の場合、臨界点は {a, b} ∪ {ℓ/(n(1+ε)) ∈ (a,b) : ℓ ∈ ℤ} ∪ {ℓ/(n(1−ε)) ∈ (a,b) : ℓ ∈ ℤ} で構成され、これもサイズが有限に抑えられる。
• 被覆確率は、Poisson累積分布関数 S(n,k,l,λ) = Σᵢ₌ₖˡ (λⁱe⁻ⁱ)/i! を用いてこれらの有限集合で計算される。
• 最小標本サイズ n は、n=2 から順次増加させながら、すべての臨界点で被覆確率が 1−δ を超えるまでテストすることで特定される。
• 混合誤差基準への拡張は、絶対誤差と相対誤差の条件を組み合わせ、対応する臨界パラメータ集合を特定することで実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 所定の絶対誤差幅と指定された信頼水準でポアソン母数を推定するための正確な最小標本サイズは何か？
• RQ2 ポアソン母数の連続区間 [a,b] における被覆確率を最小化するにはどうすればよく、その最小値はどこで達成されるか？
• RQ3 λ ∈ [a,b] における被覆確率の無限評価を、正確な標本サイズ決定のための有限評価に還元できるか？
• RQ4 相対誤差制約下で最小被覆確率を達成する臨界パラメータ点の構造は何か？
• RQ5 絶対誤差と相対誤差の両方の境界を組み合わせた混合誤差基準を、標本サイズ計算において正確に扱う方法は何か？

主な発見

• 絶対誤差の最小被覆確率は、高々 2n(b−a)+4 個の有限点で達成され、正確な計算が可能である。
• 相対誤差の場合は、最小被覆確率が {a,b} および (a,b) 内の点 ℓ/(n(1±ε)) で達成され、そのサイズは 2n(b−a)+4 より小さい。
• 被覆確率関数は左連続であり、臨界点間の区間で区分的に定数をとるため、端点での評価で十分である。
• この手法により、保守的な漸近的近似を避けて、有限の臨界点での被覆確率評価によって正確な標本サイズ決定が保証される。
• 臨界点の数が n と区間長 (b−a) に比例して増加するため、計算的に実行可能でスケーラブルである。
• 理論的基盤は、区間 [a,b] における最小被覆確率が、離散的かつ特定可能なパラメータ値で達成されることを示す厳密な証明によって裏付けられている。