[論文レビュー] Exact constants in Poincare type inequalities for functions with zero mean boundary traces

Alexander I. Nazarov, Sergey Repin|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2012

Mathematical Approximation and Integration参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リプシッツ領域の境界の一部または全境界で平均がゼロとなる関数に対するポアンカレ型不等式における正確で計算可能な定数を導出する。主な対象は長方形、立方体、直角三角形である。変分法と固有値解析を用いて、鋭い定数が特定のステクロフ型境界値問題の最小の正の固有値の逆平方根に一致することを確立し、偏微分方程式解析および数値解法における正確な誤差推定を可能にする。

ABSTRACT

In the paper, we investigate Poincare type inequalities for the functions having zero mean value on the whole boundary of a Lipschitz domain or on a measurable part of the boundary. We derive exact and easily computable constants for some basic domains (rectangles, cubes, and right triangles). In the last section, we derive an a estimate of the difference between the exact solutions of two boundary value problems. Constants in Poincare type inequalities enter these estimates, which provide guaranteed a posteriori error control.

研究の動機と目的

• 領域の境界の部分集合または全境界で平均がゼロとなる関数に対する、ポアンカレ型不等式における正確で計算可能な定数を特定すること。
• 関数の $ L^2 $-ノルムと勾配の $ L^2 $-ノルムを含む不等式における鋭い定数を同定すること。ただし、境界条件として平均がゼロとなる。
• これらの正確な定数を用いて、楕円型偏微分方程式の解析における定量的誤差推定を導出すること。
• 長方形、立方体、直角三角形といった基本的な幾何的領域における最良定数の明示的公式を提供すること。

提案手法

• 著者らは、不等式における極値関数が特定のステクロフ型固有値問題の固有関数であることを変分原理を用いて示す。
• 不等式 $ \|w\|_{2,\Omega} \leq C_1(\Omega,\Gamma)\|\nabla w\|_{2,\Omega} $ の鋭い定数が $ \lambda^{-1/2} $ に等しいことを示し、ここで $ \lambda $ は領域 $ \Omega $ 内で $ -\Delta u = \lambda u $ を満たし、境界 $ \partial\Omega \setminus \Gamma $ ではノイマン条件、$ \Gamma $ ではロビン型条件を満たす問題の最小の正の固有値である。
• トレース不等式 $ \|w\|_{2,\Gamma} \leq C_2(\Omega,\Gamma)\|\nabla w\|_{2,\Omega} $ に対しても、鋭い定数は $ \lambda^{-1/2} $ に等しく、ここで $ \lambda $ は領域 $ \Omega $ 内で $ \Delta u = 0 $ を満たし、$ \Gamma $ では $ \partial_n u = \lambda u $、$ \partial\Omega \setminus \Gamma $ では $ \partial_n u = 0 $ を満たす問題の最小の正の固有値である。
• 長方形領域や立方体に対して、$ \Gamma $ が面である場合、変数分離法を用いて明示的な固有関数を構成する。
• 直角三角形の場合、レイリー商の最小化を特定するための解析的および幾何的議論を用い、構築された固有関数が最小固有値に対応することを証明する。
• これらの結果を用いて、簡略化された源項および境界条件を伴う楕円型PDEのための事前誤差推定を導出する。この際、残差に基づく誤差境界に正確なポアンカレ定数を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リプシッツ領域の境界の可測部分で平均がゼロとなる関数に対するポアンカレ型不等式における最良定数の正確な値は何か？
• RQ2 長方形、立方体、直角三角形といった基本的な幾何的領域に対して、これらの不等式における鋭い定数を明示的に計算する方法は何か？
• RQ3 これらの鋭い定数と特定のステクロフ型境界値問題の最小の正の固有値との関係は何か？
• RQ4 これらの正確な定数は、楕円型PDEの数値解法における誤差推定の正確性をどのように向上させるか？
• RQ5 長方形でない領域、例えば直角三角形のような領域において、関連する固有値問題の固有関数を明示的に構成または特徴づけることは可能か？

主な発見

• 長方形および立方体で $ \Gamma $ が1つの面である場合、不等式 $ \|w\|_{2,\Omega} \leq C_1(\Omega,\Gamma)\|\nabla w\|_{2,\Omega} $ の正確な定数は $ \lambda^{-1/2} $ に等しく、ここで $ \lambda $ は混合ノイマン-ロビン問題の最小固有値であり、変数分離法により明示的に計算可能である。
• 直角三角形の場合、幾何的および解析的議論を用いて、構築された固有関数が最小固有値に対応することを証明し、鋭い定数 $ C_1(\Omega,\Gamma) $ の正確な値を導出する。
• トレース不等式 $ \|w\|_{2,\Gamma} \leq C_2(\Omega,\Gamma)\|\nabla w\|_{2,\Omega} $ に対し、鋭い定数も $ \lambda^{-1/2} $ に等しく、ここで $ \lambda $ は $ \Delta u = 0 $ を満たし、$ \Gamma $ では $ \partial_n u = \lambda u $ を満たすステクロフ型問題の最小の正の固有値である。
• 本稿では、簡略化されたデータを伴う楕円型PDEの一般誤差推定を提示する：$ |\!|\!|u - \widehat{u}|\!|\!| \leq \rho_1 + \sqrt{\rho_2 + \rho_1^2} $、ここで $ \rho_1 $ および $ \rho_2 $ は正確なポアンカレ定数とデータの振動に依存する。
• 正確な解とその簡略化された対応物が同じディリクレ境界条件を持つ場合、誤差境界は $ |\!|\!|u - \widehat{u}|\!|\!| \leq \frac{D_1 + D_2}{\sqrt{c}} $ に簡略化され、ここで $ D_1, D_2 $ はデータの振動に関連し、$ c $ は強制性定数である。
• 著者らは、正確な定数が、複雑な源項や境界条件を区分的定数またはアフィン近似に置き換えた場合の数値解析における誤差推定の鋭さを顕著に向上させることを示している。