[論文レビュー] "Exact" deviations in Wasserstein distance for empirical and occupation measures

Emmanuel Boissard, Thibaut Le Gouic|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、輸送エントロピー不等式と集中法を用いて、1-ワサースタイン距離における経験的および占有測度の非漸近的偏差バウンドを確立する。ポリッシュ空間上で一般な条件下で、鋭く単純な証明を提供し、収縮的ダイナミクスを示すマルコフ連鎖へと結果を拡張し、ガウス測度および拡散過程への応用を含む。

ABSTRACT

We study the problem of non-asymptotic deviations between a reference measure and its empirical version, in the 1-Wasserstein metric, under the standing assumption that the measure satisfies a transport-entropy inequality. We extend some results of F. Bolley, A. Guillin and C. Villani with simple proofs. Our methods are based on concentration inequalities and extend to the general setting of measures on a Polish space. Deviation bounds for the occupation measure of a Markov chain are also given, under the assumption that the chain is contractive on the space of Lipschitz functions. Throughout the text, several examples are worked out, including the cases of Gaussian measures on separable Banach spaces, and laws of diffusion processes.

研究の動機と目的

• 1-ワサースタイン距離において、基準確率測度とその経験的対応物の間の非漸近的偏差バウンドを導出すること。
• ボリ、ギュラン、ヴィラニの既存結果を、最小限の仮定の下でより単純かつ一般的な証明に拡張すること。
• コンパクトまたは有界領域にとどまらず、一般のポリッシュ空間への枠組みの一般化。
• リプシッツ関数上での収縮性を仮定することで、マルコフ連鎖の占有測度に対する偏差制御を確立すること。
• 具体的な例として、分離可能なバナッハ空間上のガウス測度および拡散過程の分布を提示すること。

提案手法

• 輸送エントロピー不等式を、ワサースタイン偏差を制御するための中心的構造的仮定として用いる。
• 集中法を適用して、経験的測度の偏差に関する尾部バウンドを導出する。
• カップリングおよび輸送法を用いて、1-ワサースタイン距離における経験的測度と基準測度との関係を確立する。
• リプシッツ関数空間上での収縮性を仮定することで、結果をマルコフ連鎖へと拡張し、占有測度の安定性を保証する。
• リプシッツ関数と確率測度の間の双対性を用いて、1-ワサースタイン距離を特徴付ける。
• 理論的バウンドを実証するために、ガウス測度や拡散過程といった具体的な例に枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の仮定の下で、1-ワサースタイン距離における経験的測度の非漸近的偏差バウンドをどのように導出できるか？
• RQ2 輸送エントロピー不等式は、ワサースタイン偏差を制御するために果たす役割は何か？
• RQ3 コンパクトまたは有界領域にとどまらず、一般のポリッシュ空間へと枠組みを拡張可能か？
• RQ4 マルコフ連鎖の占有測度に対する偏差バウンドは、リプシッツ関数上での連鎖の収縮的挙動にどのように依存するか？
• RQ5 ガウス測度や拡散過程といった具象的な状況における経験的測度の明示的バウンドは何か？

主な発見

• 本稿は、有界性やコンパクト性を要件とせず、輸送エントロピー不等式のみを仮定することで、1-ワサースタイン距離における経験的測度の非漸近的偏差バウンドを導出する。
• 先行研究と比較して、集中不等式とワサースタイン空間内での双対性に依拠する、より単純かつ一般化された証明を提供する。
• リプシッツ関数空間上での収縮性を仮定することで、マルコフ連鎖の占有測度に対する偏差バウンドを確立する。
• 一般のポリッシュ空間へ適用可能であるため、分離可能なバナッハ空間などの無限次元設定にも適している。
• 分離可能なバナッハ空間上のガウス測度および拡散過程の分布に対して明示的なバウンドを導出しており、手法の実用的妥当性を示している。
• 最小限の正則性条件の下で、経験的測度、占有測度、一般測度のあらゆる文脈における偏差制御を統一的に扱うアプローチを提供する。