[論文レビュー] Exact DG-categories and fully faithful triangulated inclusion functors

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2021

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、DG圏上の「ほぼ自己同型」構成を導入し、DG環から次数付き加群のアーベル圏を回復することで、第二種の導来圏と正確なDG圏の統一的枠組みを提供する。主な貢献は、第二種の導来圏間の完全忠実な三角関手の一般理論であり、アーベルDG圏上のホモロジー代数を用いて証明され、複体、行列因子化、CDG加群に応用される。

ABSTRACT

We construct an "almost involution" assigning a new DG-category to a given one, and use this construction to recover, say, the abelian category of graded modules over the graded ring $R^*$ from the DG-category of DG-modules over a DG-ring $(R^*,d)$. This provides an appropriate technical background for the definition and discussion of abelian and exact DG-categories. In the setting of exact DG-categories, derived categories of the second kind are defined in the maximal natural generality. We develop the related abstract category-theoretic language and use it to formulate and prove several full-and-faithfulness theorems for triangulated functors induced by the inclusions of fully exact DG-subcategories. Such functors are fully faithful for derived categories of the second kind more often than for the conventional derived categories. Examples and applications range from the categories of complexes in abelian/exact categories to matrix factorization categories, and from curved DG-modules over curved DG-rings to quasi-coherent CDG-modules over quasi-coherent CDG-quasi-algebras over schemes.

研究の動機と目的

• 『ほぼ自己同型』構成を用いた正確なDG圏のカテゴリカルな枠組みを構築すること。
• 新しいDG圏構成を用いて、DG環から次数付き加群のアーベル圏を回復すること。
• 第二種の導来圏（コドレッドおよびコントドレッド圏を含む）の一般的設定を確立すること。
• 完全正確なDG部分圏の包含が誘導する三角関手の完全忠実性の定理を証明すること。
• 既存の複体、行列因子化、および準正則CDG加群の導来圏に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 与えられたDG圏 $\mathbf{A}$ から新しいDG圏 $\mathbf{A}^\natural$ を構成し、次数構造を回復する双対性に類似た『ほぼ自己同型』を用いる。
• 閉じた射の次数0の圏 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A})$ と $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ の相互作用を通じて、アーベル的および正確なDG圏を定義する。
• 自由生成されたDG加群（次数付き加群から）を、標準的な収縮ホモトピーを備えて用いる。
• $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A})$ と $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ の間の三重の随伴関手を導入し、『微分を無視する』および『自由にDG加群を生成する』を解釈する。
• DG加群、曲率付きDG加群、スキーム上のCDG加群に理論を応用し、第二種の導来圏に焦点を当てる。
• 主な結果は、 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ におけるホモロジー次元の仮定およびfp-projective次元の条件を用いて証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてDG環からDG圏的構成を用いて、次数付き環上の次数付き加群のアーベル圏を回復できるか？
• RQ2 既知の例（複体や因子化圏など）を一般化する正確なDG圏の正しい抽象的定義は何か？
• RQ3 完全正確なDG部分圏の包含が、第二種の導来圏において完全忠実な三角関手を誘導するのはどのような条件下か？
• RQ4 ポジーツェルスキーとベッカーによるコドレッド圏とコントドレッド圏の出力は、どのように比較できるか？
• RQ5 コドレッド圏の完全忠実性定理において、有限fp-projective次元の仮定を緩和することは可能か？

主な発見

• 構成 $\mathbf{A}^\natural$ は、 $\mathbf{A} = \boldsymbol{R}^\bullet\mathbf{--mod}$ に対して、 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ として $R^*$-加群のアーベル圏を回復する。
• アーベルDG圏 $\mathbf{A}$ に対して、関手 $\natural\natural: \mathbf{A} \to \mathbf{A}^{\natural\natural}$ はDG同値である。これは、この場合の構成が自己双対的であることを示している。
• 包含 $\boldsymbol{R}^{\blackdiamond}\mathbf{--mod}_{\mathbf{fp}} \to \boldsymbol{R}^{\blackdiamond}\mathbf{--mod}$ は、 $\mathsf{D}^{\mathsf{abs}}(\boldsymbol{R}^{\blackdiamond}\mathbf{--mod}_{\mathbf{fp}})$ と $\mathsf{D}^{\mathsf{co}}(\boldsymbol{R}^{\blackdiamond}\mathbf{--mod})$ 間で完全忠実な三角関手を誘導する。
• $\aleph_n$-ノエター性のもとでは、 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ のfp-projective次元は $n$ で有界であり、主定理の仮定を満たす。
• [50] の結果により、ベッカーのコドレッド圏を用いる場合、 $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A})$ における有限fp-projective次元の仮定を除外可能となり、主定理が改善される。
• $\mathsf{Z}^0(\mathbf{A}^\natural)$ が有限fp-projective次元を持つとき、ポジーツェルスキーのコドレッド圏とベッカーのコドレッド圏は一致する。これは、より広い設定でも同値性が成立する可能性を示唆している。