[論文レビュー] Exact distribution of the sample variance from a gamma parent distribution

Thomas Royen|ArXiv.org|Apr 11, 2007

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ひとこと要約

この論文は、級数展開と直交関数表現を用いて、ガンマ分布に従う母集団からの標本分散の正確な累積分布関数（cdf）を導出する。計算効率の高い二重級数法（定理4.1）と、整数形状母数に対するほぼ正確なガンマ分布の混合表現（定理4.2）を提供し、モンテカルロシミュレーションを用いずに高精度な数値評価が可能となる。

ABSTRACT

Several representations of the exact cdf of the sum of squares of n independent gamma-distributed random variables Xi are given, in particular by a series of gamma distribution functions. Using a characterization of the gamma distribution by Laha, an expansion of the exact distribution of the sample variance is derived by a Taylor series approach with the former distribution as its leading term. In particular for integer orders alpha some further series are provided, including a convex combination of gamma distributions for alpha = 1 and nearly of this type for alpha > 1. Furthermore, some representations of the distribution of the angle Phi between (X1,...,Xn) and (1,...,1) are given by orthogonal series. All these series are based on the same sequence of easily computed moments of cos(Phi).

研究の動機と目的

• 母集団がガンマ分布に従う場合の標本分散の正確な分布を導出すること。
• 統計的推論に用いるために、標本分散のcdfを計算的に効率的かつ数値的に正確に表現すること。
• 正規分布および指数分布のケースを超えて、ガンマ分布データに対する正確な解析的表現を提供すること。
• モンテカルロシミュレーションを回避するために、級数展開および直交関数分解を用いたcdfの高精度評価を可能にすること。
• 非正規分散分析における既存の近似の精度を評価するための理論的・実用的ツールを提供すること。

提案手法

• ラプラス変換を用いて、$ h^{*}_{\alpha,n}(r) = r^{-\alpha n} H_{\alpha,n}(r) $ の関数のcdfsを導出し、$ U = \sqrt{Z/Y^2} $ の分布と関連付ける。
• ラハの定理によるガンマ分布の特徴づけを用い、標本分散の分布を、確率ベクトルとすべての成分が1のベクトルとの間の角度 $ \Phi $ で表現する。
• $ \vartheta/n $ の周りでのテイラー級数展開を適用し、$ \cos\Phi $ のモーメントを含む二重級数としてcdfsを表現し、定理4.1を導出する。
• $ \tan\Phi $ の分布を $ [0, \varphi_n] $ 上での多項式近似で表現し、整数 $ \alpha $ に対してほぼ正確なガンマ分布の混合表現を可能にする。これが定理4.2の内容である。
• Legendre多項式およびフーリエ正弦級数を用いた直交級数展開を用い、$ \cos\Phi $ の計算可能なモーメントに基づいて $ \Phi $ の分布を表現する。
• 計算機代数システムを用いて、少なくとも8桁の正確な数値を達成する表の数値計算により、手法の妥当性を検証し、高精度かつ高速性を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 母集団分布がガンマ分布である場合、標本分散の累積分布関数の正確な解析的形は何か？
• RQ2 データベクトルとすべての成分が1のベクトルとの間の角度 $ \Phi $ を用いた、標本分散の分布の級数展開による表現はどのように得られるか？
• RQ3 特に整数形状母数 $ \alpha $ の場合に、標本分散のcdfに対してガンマ分布の確率混合を構築できるか？
• RQ4 提案された級数表現の精度および計算効率は、モンテカルロシミュレーションと比較してどうか？
• RQ5 $ \cos\Phi $ および $ \cot\Phi $ のモーメントは、cdfの直交級数および累乗級数表現の構築にどのように寄与するか？

主な発見

• 二重級数表現（定理4.1）を用いて、標本分散の正確なcdfが導出された。この方法は数値的に安定しており、少なくとも8桁の有効数字の精度を達成する。
• 指数分布の場合（$ \alpha = 1 $）において、標本分散のcdfは、ガンマ分布の凸結合として正確に表現できる。
• 整数 $ \alpha > 1 $ の場合、cdfはほぼ正確にガンマ分布の混合として表現可能であり、定理4.2では交項累乗級数形が与えられる。
• 計算機代数システムを用いたcdfsの高精度計算が可能であり、級数項の $ O(\vartheta^j j^{-(n+1)/2}) $ の減衰により収束が保証される。
• $ \tan\Phi $ の分布は $ [0, \varphi_n] $ 上で多項式近似により近似され、整数 $ \alpha $ に対してほぼ正確な混合表現の導出が可能である。
• 級数表現は $ \cos\Phi $ の計算可能なモーメントに基づき、Legendre多項式およびフーリエ正弦級数を用いた直交展開が $ \Phi $ の分布に対して導出されている。