[論文レビュー] Exact duals and short certificates of infeasibility and weak infeasibility in conic linear programming

Minghui Liu, Gábor Pataki|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、錐線形計画法（CLPs）における完全な双対と、不可解性および弱不可解性の短い証明書を導入し、既知の半正定値計画法（SDPs）に関する結果を一般化するとともに、最適値を達成しないか、双対ギャップを有する可能性がある標準ラグランジュ双対の制限を克服する。著者らは、顔の削減（facial reduction）と初等的行変換に基づく、新しい完全な双対と不可解性証明書を提示し、制約適合条件を必要とせず、CLPsにおける不可解性および弱不可解性のアルゴリズム的検証を可能にする統一的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

In conic linear programming -- in contrast to linear programming -- the Lagrange dual is not an exact dual: it may not attain its optimal value, or there may be a positive duality gap. The corresponding Farkas' lemma is also not exact (it does not always prove infeasibility). We describe exact duals, and certificates of infeasibility and weak infeasibility for conic LPs which are nearly as simple as the Lagrange dual, but do not rely on any constraint qualification. Some of our exact duals generalize the SDP duals of Ramana, and Klep and Schweighofer to the context of general conic LPs. Some of our infeasibility certificates generalize the row echelon form of a linear system of equations: they consist of a small, trivially infeasible subsystem obtained by elementary row operations. We prove analogous results for weakly infeasible systems. We obtain some fundamental geometric corollaries: an exact characterization of when the linear image of a closed convex cone is closed, and an exact characterization of nice cones. Our infeasibility certificates provide algorithms to generate {\em all} infeasible conic LPs over several important classes of cones; and {\em all} weakly infeasible SDPs in a natural class. Using these algorithms we generate a public domain library of infeasible and weakly infeasible SDPs. The status of our instances can be verified by inspection in exact arithmetic, but they turn out to be challenging for commercial and research codes.

研究の動機と目的

• 錐線形計画法における標準双対の失敗、特にラグランジュ双対が最適値を達成しないか、正の双対ギャップを有する可能性があるという問題に対処すること。
• 制約適合条件が存在しない場合でも常に最適値を達成し、かつ原問題の最適値と一致する完全な双対を構築すること。
• 制約適合条件に依存しない短く検証可能な不可解性および弱不可解性の証明書を、線形方程式系における行階段形に類似した形で構築すること。
• 既知のSDPに関する結果を一般化し、一般の錐線形LPにまで拡張する統一的な枠組みを提供すること。
• テストおよびベンチマーク用途のため、不可解および弱不可解なSDPを体系的に生成するためのアルゴリズム的手法を提供すること。

提案手法

• 顔の削減を用いて錐線形LPの完全な双対を導入し、冗長な制約を体系的に特定・除去することで強双対性を回復する。
• 初等的行変換に基づく不可解性証明書を構築し、システムを自明に不可解な部分系に変換する。これは行階段形に類似している。
• 顔の削減の概念を用いて、閉凸錐の線形像が閉じている条件を特徴づけ、完全双対の幾何的基盤を提供する。
• SDPのラマナの拡張双対を一般の錐線形LPに一般化し、制約適合条件を必要としない完全双対を保証する。
• 理論を応用して、自然なクラスに属するすべての不可解および弱不可解なSDPを生成するアルゴリズム的手順を構築する。
• 正確な算術による検証を用いて、生成された例の状態を検証し、ベンチマーク用途における正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の錐線形計画法に対して、常に最適値を達成し、かつ原問題の最適値と一致する完全な双対を構築できるか？
• RQ2 制約適合条件に依存しない短く検証可能な不可解性証明書を、錐線形LPに対して開発できるか？
• RQ3 顔の削減を用いて、閉凸錐の線形写像による像が閉じている条件をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 弱不可解性と錐およびその双対における面の幾何的性質との正確な関係は何か？
• RQ5 不可解および弱不可解なSDPを体系的に生成するためのアルゴリズム的手法を考案できるか？

主な発見

• 本稿は、弱双対性を満たし、原問題の最適値と同一の最適値を達成し、かつ常に最適値を達成する錐線形LPの完全な双対を構築している。標準ラグランジュ双対が失敗する状況でも同様に成立する。
• 短い不可解性証明書を提供しており、アルゴリズム的に検証可能であり、線形方程式系における行階段形を錐計画に一般化している。
• 線形写像による閉凸錐の線形像が閉じている条件について、正確な特徴づけを確立した。これは根本的な幾何的問題を解決する。
• 「良い」（nice）錐の完全な特徴づけを提供した。これは、すべての線形写像に対して錐の線形像が閉じるような錐である。
• 本フレームワークにより、商業的および研究用ソルバーにとって挑戦的であるが、正確な算術では目視検証可能な不可解および弱不可解なSDPの公開ライブラリの生成が可能になった。
• 既存のSDP用拡張双対を一般の錐線形LPに一般化し、顔の削減と拡張双対に基づく既存のアプローチを統合・簡略化した。