[論文レビュー] Exact Eigenfunctions of a Chaotic System

Ophir M. Auslaender, Shmuel Fishman|ArXiv.org|Jul 26, 1997

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、古典的にカオス的ダイナミクスを示す擬球面上のタイル化ビリヤードに対する、正確な固有関数およびグリーン関数を、セルバーグのトレース公式を用いて導出する。グリーン関数は、周期的軌道に関する無限和の比として表現され、スペクトル行列式が分母に位置し、プランク定数 ℏ における解析接続によって、得られる固有関数が一般のカオス的系のものに類似していることが示された。量子スカルの兆候は検出されなかった。

ABSTRACT

The interest in the properties of quantum systems, whose classical dynamics are chaotic, derives from their abundance in nature. The spectrum of such systems can be related, in the semiclassical approximation (SCA), to the unstable classical periodic orbits, through Gutzwiller's trace formula. The class of systems studied in this work, tiling billiards on the pseudo-sphere, is special in this correspondence being exact, via Selberg's trace formula. In this work, an exact expression for Green's function (GF) and the eigenfunctions (EF) of tiling billiards on the pseudo-sphere, whose classical dynamics are chaotic, is derived. GF is shown to be equal to the quotient of two infinite sums over periodic orbits, where the denominator is the spectral determinant. Such a result is known to be true for typical chaotic systems, in the leading SCA. From the exact expression for GF, individual EF can be identified. In order to obtain a SCA by finite series for the infinite sums encountered, resummation by analytic continuation in $\hbar$ was performed. The result is similar to known results for EF of typical chaotic systems. The lowest EF of the Hamiltonian were calculated with the help of the resulting formulae, and compared with exact numerical results. A search for scars with the help of analytical and numerical methods failed to find evidence for their existence.

研究の動機と目的

• 古典的にカオス的ダイナミクスを示す量子カオス系における固有関数およびグリーン関数の正確な表現を導出すること。
• 量子スペクトル的性質と周期的軌道との間の関係を、近似ではなく正確な対応関係として確立すること。
• 量子スカル（局在化した固有状態）の存在を、解析的および数値的手法を用いて調査すること。
• 正確に解けるカオス的系において、半古典的近似の妥当性を、解析的結果と数値計算の比較によって検証すること。

提案手法

• 研究では、セルバーグのトレース公式を用いて、グリーン関数を周期的軌道に関する二つの無限和の比として正確に表現する。
• グリーン関数の分母は、スペクトル行列式として特定され、量子と古典の対応関係が正確に保証される。
• プランク定数 ℏ における解析接続を適用し、無限級数を有限で計算可能な表現に再まとめることで、固有関数を得る。
• 得られた公式を用いて、最低準位の固有関数を数値的に計算し、正確な数値解と比較する。
• 解析的手法と数値シミュレーションの組み合わせを用いて、固有関数内に量子スカルが存在するかを探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ダイナミクスがカオス的な量子系に対して、正確なトレース公式を用いて正確な固有関数を導出可能か？
• RQ2 擬球面上のタイル化ビリヤードの固有関数は、半古典的極限において一般のカオス的系のものとどのように比較できるか？
• RQ3 この正確に解けるカオス的系に、不安定な周期的軌道に沿った局在化した固有状態（量子スカル）が存在するか？
• RQ4 正確に解ける系において、半古典的近似はどの程度妥当であるか。数値結果との比較によって検証できるか？

主な発見

• グリーン関数は、周期的軌道に関する二つの無限和の比として正確に表現され、分母にスペクトル行列式が含まれる。
• ℏ における解析接続によって得られた固有関数は、一般のカオス的系に対して半古典的近似で予測されるものと類似している。
• 導出された公式を用いた最低準位の固有関数の数値計算は、正確な数値解と良好な一致を示した。
• 広範な解析的および数値的探索にもかかわらず、固有関数内に量子スカルの兆候は認められなかった。
• 結果は、正確に解けるカオス的系においても半古典的近似の妥当性が確認されたことを示し、そのより広範な適用可能性を支持する。