[論文レビュー] Exact Exponential Time Algorithms for Max Internal Spanning Tree

Henning Fernau, Serge Gaspers+1 more|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Algorithms and Data Compression参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、最大次数3のグラフに制限したNP困難なMax Internal Spanning Tree（MIST）問題に対して、正確かつパラメータ化されたアルゴリズムを提示する。新規の分岐アルゴリズムを導入し、多項式空間を用いて時間計算量$\mathcal{O}^*(1.8669^n)$を達成した。また、内部頂点数が少なくとも$k$個であるような生成森を見つけるためのパラメータ化されたバージョンでは、Measure & Conquer分析を用いて$\mathcal{O}^*(2.1364^k)$の実行時間を得た。

ABSTRACT

We consider the NP-hard problem of finding a spanning tree with a maximum number of internal vertices. This problem is a generalization of the famous Hamiltonian Path problem. Our dynamic-programming algorithms for general and degree-bounded graphs have running times of the form O*(c^n) (c <= 3). The main result, however, is a branching algorithm for graphs with maximum degree three. It only needs polynomial space and has a running time of O*(1.8669^n) when analyzed with respect to the number of vertices. We also show that its running time is 2.1364^k n^O(1) when the goal is to find a spanning tree with at least k internal vertices. Both running time bounds are obtained via a Measure & Conquer analysis, the latter one being a novel use of this kind of analyses for parameterized algorithms.

研究の動機と目的

• Max Internal Spanning Tree（MIST）問題に対するより高速な正確アルゴリズムの開発。これはハミルトンパス問題の一般化である。
• 最大次数3のグラフにおけるMISTの多項式空間アルゴリズムの設計。これにより、従来の指数時間の境界が改善された。
• 内部頂点数$k$をパラメータとして、パラメータ化された視点からMeasure & Conquer分析を適用すること。
• MISTに対して$\mathcal{O}^*(c^n)$時間で実行される最初のアルゴリズムを確立し、$c < 3$となるようにし、次数制限付きグラフの実行時間の改善を図ること。
• 一般グラフおよび部分立方体グラフにおいて、MISTの$2^n$の時間境界を打ち破ることが可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 一般および次数制限付きグラフに対して動的計画法を用い、時間計算量$\mathcal{O}^*(3^n)$を達成した。
• 最大次数3のグラフに対して、構造的制約を活用して分岐係数を低減する専用の分岐アルゴリズムを設計した。
• 分岐の過程で頂点の状態を集合$U, X, Y, Z, W$に分類する状態ベースの頂点分類法を用い、頂点の進行状況を追跡した。
• 実行時間のタイトな境界を導出するためにMeasure & Conquer分析を適用し、問題サイズの減少をモデル化するためのカスタム潜在関数$\omega_1, \omega_2, \omega_3$を用いた。
• パラメータ化された分析では、$k$を解のサイズ（最小内部頂点数）とみなした。分岐木における進行具合を捉えるために、修正された測度を用いた。
• アルゴリズムは、グラフにおける辺の追加・削除を処理しながら、妥当な生成森の候補を維持できる。頂点の次数および隣接頂点の種別に基づく場合分けを実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般グラフにおけるMISTの$\mathcal{O}^*(2^n)$時間境界を、多項式空間を用いて打ち破ることは可能か？
• RQ2 特に$c < 3$となる$\mathcal{O}^*(c^n)$時間で実行される、部分立方体グラフにおけるMISTのより高速な正確アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 Measure & Conquerは、解のサイズ$k$をパラメータとするMISTのパラメータ化アルゴリズムに効果的に適用可能か？
• RQ4 次数3のグラフにおけるMISTの最適な分岐戦略は何か？これは、最悪ケースの分岐係数を最小化することを目的とする。
• RQ5 頂点数$n$ではなく内部頂点数$k$をパラメータとしてパラメータ化した場合、実行時間はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 本稿では、$c < 3$となる$\mathcal{O}^*(c^n)$時間で実行されるMISTに対する最初のアルゴリズムを提示した。一般グラフでは$\mathcal{O}^*(3^n)$を達成した。
• 最大次数3のグラフでは、多項式空間を用いて$\mathcal{O}^*(1.8669^n)$時間で実行される。
• パラメータ化されたバージョンのアルゴリズムは、内部頂点数を$k$とすると、$\mathcal{O}^*(2.1364^k)$時間で実行される。
• $\mathcal{O}^*(2.1364^k)$の実行時間境界は、パラメータ化アルゴリズム解析におけるMeasure & Conquerの新規な応用によって得られた。
• アルゴリズムの最悪ケース分岐係数は、ケース4.(b)（$d_T(a)=2$のとき）、4.(c)、4.(d)、およびケース5（$b$のすべての隣接頂点が次数3のとき）に現れ、いずれも分岐数$2.1364$を示した。
• 解析により、アルゴリズムの性能はタイトであり、新たな分岐戦略または測度を用いない限り、顕著な改善は不可能であることが確認された。