[論文レビュー] Exact Failure Frequency Calculations for Extended Systems

Annie Druault-Vicard, Christian Tanguy|Dec 28, 2006

Software Reliability and Analysis Research参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、行列積表現と線形微分作用素を用いて、大規模な修理可能システムの定常状態可用性と故障周波数を統一的・1パスで計算する手法を提示する。主な貢献は、k-out-of-n:G、線形連続k-out-of-n:F、ラダー網などのシステムにおいて、漸近的極限において故障率がシステムサイズに線形に比例することを証明し、伝達行列の固有値微分を用いて効率的かつ正確な計算が可能であることを示している。

ABSTRACT

This paper shows how the steady-state availability and failure frequency can be calculated in a single pass for very large systems, when the availability is expressed as a product of matrices. We apply the general procedure to $k$-out-of-$n$:G and linear consecutive $k$-out-of-$n$:F systems, and to a simple ladder network in which each edge and node may fail. We also give the associated generating functions when the components have identical availabilities and failure rates. For large systems, the failure rate of the whole system is asymptotically proportional to its size. This paves the way to ready-to-use formulae for various architectures, as well as proof that the differential operator approach to failure frequency calculations is very useful and straightforward.

研究の動機と目的

• 大規模で修理可能なシステムにおける正確な故障周波数と定常状態可用性を統一的かつ効率的に計算するための手法を開発すること。
• k-out-of-n:G や線形連続k-out-of-n:F システムなどの複雑なシステムアーキテクチャに対して、微分作用素アプローチの有効性を示すこと。
• 同一部品を有する大規模システムにおいて、漸近的領域で故障率がシステムサイズに線形に比例することを確立すること。
• 生成関数と固有値に基づく近似を導出することで、一般的なネットワークトポロジー用の即時利用可能な公式を提供すること。

提案手法

• システム可用性を、各要素が部品可用性の多重線形多項式である転送行列の積として表現する。
• 行列積に対して線形微分作用素 ∑λᵢpᵢ∂/∂pᵢ を適用することで、1パスで故障周波数を計算する。
• 故障周波数は、積チェーン内の各行列に作用素を適用した結果の行列トレースの和として計算される。
• 同一部品の場合、漸近的挙動を分析するための生成関数を導出し、故障率は伝達行列の支配的固有値の微分によって決定される。
• k-out-of-n:G、線形連続k-out-of-n:F、および2端子ラダー網（エッジおよびノード故障を別々に考慮）に対して検証を行う。
• 漸近的解析により、故障率 ∝ n が得られ、比例定数は ∂lnζ₊/∂lnp および ∂lnα₊/∂lnp から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可用性が行列積として表現される場合、大規模システムにおいて故障周波数を正確かつ1パスで計算できるか？
• RQ2 大規模な k-out-of-n:G および線形連続k-out-of-n:F システムにおける故障率の漸近的挙動は何か？
• RQ3 同一部品を有するラダー網において、故障率はシステムサイズにどのように依存するか？
• RQ4 微分作用素法は、エッジおよびノード故障を併存させる再帰的ネットワークトポロジーに体系的に適用可能か？
• RQ5 同一部品可用性を有するシステムにおける可用性および故障周波数の正確な生成関数は何か？

主な発見

• 微分作用素を行列積に適用することで、高価な包含除外展開を回避し、1パスで故障周波数を正確に計算可能である。
• 大規模システムでは、故障率がシステムサイズ n に漸近的に比例し、比例定数は伝達行列の支配的固有値の微分から得られる。
• 完全なノードを有するラダー網では、故障率は ∂lnζ₊/∂lnp ≈ 1.138（最適リンク信頼性 p ≈ 0.2516）で、n に対して強い線形依存性を示す。
• 非常に信頼性の高い部品では、故障率は1次近似で (2n + 4)λq に一致し、最小カットの列挙結果と一致する。
• k-out-of-n:G システムの生成関数は Gₖ(z) = [pz / (1 - (1-p)z)]ᵏ / (1 - z) であり、閉形式での解析が可能である。
• 本手法は不可用性に基づく表現に一般化可能であり、部品信頼性が可用性に置き換わる時間依存システムに対しても適用可能である。