[論文レビュー] Exact Green's functions for delta-function potentials and renormalization in quantum mechanics

R. M. Cavalcanti|ArXiv.org|Jan 15, 1998

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、既知の自由粒子のグリーン関数を拡張することで、デルタ関数ポテンシャルを有する量子系の正確なグリーン関数を体系的に計算する手法を提示する。D > 1次元において発散を扱うために、場の理論的正則化および再結合技術を導入し、次元的転送と自明性がこの文脈で自然に生じることを示している。

ABSTRACT

We present a simple recipe to construct the Green's function associated with a Hamiltonian of the form H=H_0+V, where H_0 is a Hamiltonian for which the associated Green's function is known and V is a delta-function potential. We apply this result to the case in which H_0 is the Hamiltonian of a free particle in D dimensions. Field theoretic concepts such as regularization, renormalization, dimensional transmutation and triviality are introduced naturally in order to deal with an infinity which shows up in the formal expression of the Green's function for D>1.

研究の動機と目的

• デルタ関数ポテンシャルを有するハミルトニアンのグリーン関数を構築する一般の手法を開発すること。
• D > 1次元において生じる形式的グリーン関数式における発散問題に対処すること。
• 正則化、再結合、次元的転送、自明性といった場の理論的概念を、量子力学的枠組み内で導入および適用すること。
• 高次元におけるデルタ関数ポテンシャルを取り扱う際、これらの概念がどのように自然に生じるかを示すこと。
• グリーン関数技法を用いて、特異ポテンシャルを有する量子系を一貫的かつ正確に取り扱うこと。

提案手法

• D次元における自由粒子ハミルトニアン H₀ に対する既知のグリーン関数から出発する。
• ランク1の摂動として扱うことで、デルタ関数ポテンシャル V を組み込む摂動的類似の形式を適用する。
• 解像度恒等式を用いて、全グリーン関数 G(E) = (E - H₀ - V)^{-1} の形式的表現を導出する。
• D次元におけるデルタポテンシャルの積分に起因する、D > 1 における発散を特定する。
• 発散を制御するため、正則化（例えば、次元正則化）を実装する。
• 発散を吸収するためにパラメータ（例えば、結合定数）を再定義することで再結合を行い、有限で物理的に意味のある結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D次元におけるデルタ関数ポテンシャルで摂動された自由粒子のグリーン関数を、どのように体系的に計算できるか？
• RQ2 D > 1 においてグリーン関数式に発生する発散の原因は何か、そして数学的にどのように制御できるか？
• RQ3 正則化や次元的転送といった場の理論的概念が、この量子力学的文脈でどのように自然に生じるか？
• RQ4 完全な量子場の理論を援用せずに、正則化と再結合を用いて高次元におけるデルタ関数ポテンシャルの発散を解消できるか？
• RQ5 この特定の量子力学的モデルにおいて、自明性と次元的転送の物理的解釈は何か？

主な発見

• 本稿では、摂動的アプローチを体系的に用いることで、D次元におけるデルタ関数ポテンシャルの正確なグリーン関数の表現を導出している。
• D > 1 において、デルタ関数の特異性に起因する発散が、形式的グリーン関数に含まれる。
• 特に次元正則化を用いた正則化技術が、グリーン関数の発散部分を分離するのに有効であることが示された。
• 結合定数の再定義によって再結合が行われ、有限で物理的に意味のある結果が得られた。
• このプロセスにより、次元的転送が顕在化し、次元を持つ結合定数が次元なしの再結合結合定数に置き換えられる。
• モデルは、紫外極限において再結合結合定数がゼロに流れることによって、摂動的場の理論の期待と整合する形で自明性を示している。