[論文レビュー] Exact imposition of boundary conditions with distance functions in physics-informed deep neural networks

N. Sukumar, Ankit Srivastava|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 119被引用数 316

ひとこと要約

本稿では、R関数および平均値ポテンシャルから導出される近似距離関数を用いて、ディリクレ、ノイマン、ロビン境界条件を正確に強制する物理学に基づく深層ニューラルネットワーク手法を提案する。これらの幾何学的感度を持つ関数をネットワークの試行解に埋め込むことで、境界条件の誤差を排除し、訓練を内部残留誤差のみに依存させるよう簡素化し、複雑な2次元および4次元領域において標準PINNよりも優れた精度を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new approach based on distance fields to exactly impose boundary conditions in physics-informed deep neural networks. The challenges in satisfying Dirichlet boundary conditions in meshfree and particle methods are well-known. This issue is also pertinent in the development of physics informed neural networks (PINN) for the solution of partial differential equations. We introduce geometry-aware trial functions in artifical neural networks to improve the training in deep learning for partial differential equations. To this end, we use concepts from constructive solid geometry (R-functions) and generalized barycentric coordinates (mean value potential fields) to construct $\phi$, an approximate distance function to the boundary of a domain. To exactly impose homogeneous Dirichlet boundary conditions, the trial function is taken as $\phi$ multiplied by the PINN approximation, and its generalization via transfinite interpolation is used to a priori satisfy inhomogeneous Dirichlet (essential), Neumann (natural), and Robin boundary conditions on complex geometries. In doing so, we eliminate modeling error associated with the satisfaction of boundary conditions in a collocation method and ensure that kinematic admissibility is met pointwise in a Ritz method. We present numerical solutions for linear and nonlinear boundary-value problems over domains with affine and curved boundaries. Benchmark problems in 1D for linear elasticity, advection-diffusion, and beam bending; and in 2D for the Poisson equation, biharmonic equation, and the nonlinear Eikonal equation are considered. The approach extends to higher dimensions, and we showcase its use by solving a Poisson problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions over the 4D hypercube. This study provides a pathway for meshfree analysis to be conducted on the exact geometry without domain discretization.

研究の動機と目的

• 複雑な幾何形状において、物理学に基づくニューラルネットワーク（PINN）における境界条件の不正確な強制という、長年の課題に対処すること。
• 事前に境界条件を正確に満たすことができる、メッシュフリーで幾何学的感度を持つアプローチを構築すること。
• 境界損失項を排除することでPINNの訓練を簡素化し、損失関数に内部残留誤差のみに依存させること。
• 領域の離散化やメッシュ生成を伴わずに、正確な幾何形状上でイソゲオメトリックな解析に類似した手法を可能とすること。
• 本手法を高次元問題、特に4次元ハイパーキューブにまで拡張し、スケーラビリティを示すこと。

提案手法

• R関数（R同等性の合成を介して）および平均値ポテンシャル場を用いて、領域境界への符号付き距離を近似する距離関数（ADFs）を構築する。
• 逆距離重み付けに基づくトランスフィニット補間を用いて、非一様なディリクレ、ノイマン、ロビン条件へのADFsの一般化を行う。
• PINN近似にADFsを乗算することで境界条件を正確に強制し、リッツ法における運動的整合性およびコロケーション法における点ごとの満たしを保証する。
• PDEを解くために強形式コロケーションおよびリッツ最小化を採用し、損失関数を内部残留誤差のみに限定する。
• PDE残留評価のための高階微分を自動微分を用いて計算する。
• 4次元に拡張する際には、R同等性を用いてハイパーキューブ上にADFsを構築し、メッシュフリーでポアソン方程式を解けるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R関数および平均値ポテンシャルに基づく近似距離関数は、複雑な幾何形状におけるPINNで、多様な境界条件を正確に強制するために使用可能か？
• RQ2 事前に境界条件を満たすことで境界損失項を排除することで、PINNの訓練効率と解の精度が向上するか？
• RQ3 非線形および高階PDE（例：アイケオナル方程式およびビハーモニック方程式）において、本手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 次元の呪いに見舞われることなく、4次元ポアソン方程式のような高次元問題に本手法を拡張可能か？
• RQ5 R同等性と平均値ポテンシャルの2種類のADFs構築法は、精度および計算コストの観点でどのように比較されるか？

主な発見

• 提案手法は、線形および非線形PDEを含む、すべてのベンチマーク問題において、標準PINNコロケーション法を一貫して上回る精度を達成する。
• 境界条件が事前に満たされているため、訓練損失とPDE残留誤差損失が一致し、重み付き境界損失項の必要性がなくなり、収束性が向上する。
• 非凸領域におけるアイケオナル方程式の数値実験では、R同等性によるADFsが平均値ポテンシャルによるADFsよりも高い精度を達成したが、多角形の辺数が多い場合には後者がより効率的であった。
• 4次元ハイパーキューブ上では、2–100–100–1のネットワークを用いて、同様に均一なディリクレ境界条件を満たすポアソン方程式を正確に解いた。これは、高次元へのスケーラビリティを示している。
• R関数および平均値ポテンシャルに基づくADFsの使用により、領域の離散化なしにメッシュフリーで、正確な幾何形状上でのイソゲオメトリックな類似シミュレーションが可能になる。
• 本手法により、メッシュ生成を伴わず、曲面や多重連結領域に対しても、境界条件の正確な強制により解の忠実性が向上するPDEの安定的解法が可能になる。