[論文レビュー] Exact Lagrangian submanifolds, Lagrangian spectral invariants and Aubry-Mather theory

Lino Amorim, Yong‐Geun Oh+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、閉じた向き付け可能な多様体の余接 bundle におけるコン pact な正確ラグランジュ部分多様体に対して、ラグランジュスペクトル不変量とフロー・ホモロジーを用いてグラフ選択子を構成する。リプシッツ・正確ラグランジュ部分多様体の概念を導入し、それらに対して一般化されたグラフ選択子の存在を証明することで、アブリ・マーティー集合の新たな特徴付けを可能にするとともに、トンェリハミルトニアンフローに関して不変なラグランジュ部分多様体に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

We construct graph selectors for compact exact Lagrangians in the cotangent bundle of an orientable, closed manifold. The construction combines Lagrangian spectral invariants developed by Oh and results by Abouzaid about the Fukaya category of a cotangent bundle. We also introduce the notion of Lipschitz-exact Lagrangians and prove that these admit an appropriate generalization of graph selector. We then, following Bernard-Oliveira dos Santos, use these results to give a new characterization of the Aubry and Mane sets of a Tonelli Hamiltonian and to generalize a result of Arnaud on Lagrangians invariant under the flow of such Hamiltonians.

研究の動機と目的

• ゼロセクションにハミルトニアン同倫するラグランジュ部分多様体にとどまらず、フロイド理論的技法を用いてグラフ選択子の構成を拡張すること。
• C0シンプレクティックトポロジーにおける自然なクラスとして、リプシッツ・正確ラグランジュ部分多様体を定義し、その性質を研究すること。
• これらの構成を用いて、トンェリハミルトニアンのアブリおよびマニェ集合を特徴付けること。
• スペクトル不変量を用いて、トンェリフローに関して不変なラグランジュ部分多様体に関するアルノーの結果を一般化すること。
• グラフ選択子のリプシッツ連続性と、ハミルトニアン摂動における安定性を確立すること。

提案手法

• 余接バンドルの正確ラグランジュ部分多様体と余接ファイバー間のフロイドホモロジーから得られるラグランジュスペクトル不変量を用い、Abouzaidの結果 HF(L, T*qM) ≅ Z を活用する。
• ラップド・フロイドホモロジーとフロイド複体上のフィルトレーションを適用し、基本的な位相関数を定義し、これがグラフ選択子として機能する。
• 滑らかな正確ラグランジュ部分多様体の適切な位相における極限として、リプシッツ・正確ラグランジュ部分多様体を定義し、正確性の概念を一般化する。
• ファイバーとラグランジュ部分多様体の間を補間するハミルトニアン H を用いた継続法により、一般化されたグラフ選択子を構成する。
• 擬複素曲線に対する C0 界 (補題 7.2) とパラメータ化された作用関数を用いて、スペクトル不変量を制御する。
• 作用差と基底多様体上の距離の間の重要な不等式 (7.5) を導出し、これにより選択子のリプシッツ連続性が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロセクションにハミルトニアン同倫するものに限らず、T*M 内の一般のコン pact な正確ラグランジュ部分多様体に対し、グラフ選択子を構成できるか？
• RQ2 滑らかさの欠如下で C0 連続な選択子を許容する正確ラグランジュ部分多様体の適切な一般化は何か？
• RQ3 ラグランジュスペクトル不変量を用いて、トンェリハミルトニアンのアブリおよびマニェ集合を特徴付ける方法は何か？
• RQ4 フロイド複体のスペクトル不変量を用いて、選択子関数のリプシッツ連続性を証明できるか？
• RQ5 スペクトル不変量は、特に不変ラグランジュ部分多様体に関連して、トンェリハミルトニアンの力学をどの程度制御できるか？

主な発見

• 本稿は、T*M 内の任意のコン pact で滑らかな正確ラグランジュ部分多様体がグラフ選択子を有することを証明している（定理 1.2）。
• リプシッツ・正確ラグランジュ部分多様体のクラスを導入し、任意のコン pact なそれらが一般化されたグラフ選択子を有することを示している（定理 5.2）。
• 関数 f に対して |f(q1) - f(q0)| ≤ R1 d(q0, q1) が成り立つことから、f が周囲空間の幾何に依存するリプシッツ連続性を示している。
• 本構成により、トンェリハミルトニアンのアブリおよびマニェ集合をスペクトル不変量とグラフ選択子を用いて新たな特徴付けが可能になった。
• アルノーの結果を一般化し、トンェリフローに関して不変なラグランジュ部分多様体の不変性が、関連するフロイド複体のスペクトル不変量に反映されることを示した。
• 作用差と距離の関係を制御する重要な不等式 AH(x1) - AH(x0) ≤ R1(d(q0, q1) + ε) を導出し、ε → 0 の極限でリプシッツ界が得られる。