[論文レビュー] Exact Large Deviations of the Current in the Asymmetric Simple Exclusion Process with Open Boundaries

Alexandre Lazarescu|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 131被引用数 9

ひとこと要約

本博士論文は、非平衡系における行列アンザッツ法を用いて、開境界を持つ非対称的単純排除過程（ASEP）における粒子流量の極限的偏差を正確に計算する。有限系における流量の積率を導出し、その大サイズ漸近挙動を分析するとともに、s-アンサンブルにおける相図の予想を提示する。さらに、この非平衡的文脈において、行列アンザッツと代数的ベーテアンザッツの間の新規な関係を確立する。

ABSTRACT

In this thesis, we consider one of the most popular models of non-equilibrium statistical physics: the Asymmetric Simple Exclusion Process, in which particles jump stochastically on a one-dimensional lattice, between two reservoirs at fixed densities, with the constraint that each site can hold at most one particle at a given time. This model has the mathematical property of being integrable, which makes it a good candidate for exact calculations. What interests us in particular is the current of particles that flows through the system (which is a sign of it being out of equilibrium), and how it fluctuates with time. We present a method, based on the "matrix Ansatz" devised by Derrida, Evans, Hakim and Pasquier, that allows to access the exact cumulants of that current, for any finite size of the system and any value of its parameters. We also analyse the large size asymptotics of our result, and make a conjecture for the phase diagram of the system in the so-called "s-ensemble". Finally, we show how our method relates to the algebraic Bethe Ansatz, which was thought not to be applicable to this situation.

研究の動機と目的

• 開境界を持つ非対称的単純排除過程（ASEP）における粒子流量の極限的偏差統計を研究すること。
• ASEPモデルにおける流量積率の正確な有限サイズ結果を提供すること。
• 大系サイズ極限を分析し、s-アンサンブルにおける相図を予想すること。
• 非平衡的状況下で、行列アンザッツと代数的ベーテアンザッツの間の関係を確立すること。

提案手法

• Derrida らが当初開発した行列アンザッツ法を、開境界を持つASEPにおける流量の正確な積率を計算するために適用する。
• この手法は、特定の代数的関係を満たす非可換行列を用いて、系の定常状態重みを表現することに依存する。
• 流量の生成関数は行列積の形で表現され、有限系サイズにおけるすべての積率の正確な計算が可能になる。
• 大系サイズ極限における積率の漸近的解析により、極限的偏差関数が抽出される。
• 行列代数がベーテアンザッツ固有状態を通じて実現可能であることを示すことにより、代数的ベーテアンザッツとの関係が示される。
• 積率生成関数の漸近的挙動に基づき、s-アンサンブルの相図が予想される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限系サイズにおける開境界を持つASEPの流量の正確な極限的偏差関数の形は何か？
• RQ2 大N極限における流量の積率は、系サイズにどのように依存するか？
• RQ3 開境界を持つASEPのs-アンサンブルにおける相図の構造は何か？
• RQ4 この非平衡的モデルにおいて、行列アンザッツを体系的に代数的ベーテアンザッツに関連づけることができるか？
• RQ5 境界密度を変化させた場合の流量ゆらぎにおける臨界的挙動と転移は何か？

主な発見

• 行列アンザッツ法により、任意の有限系サイズにおける開境界を持つASEPの流量のすべての積率について正確な式が得られる。
• 積率生成関数の大系サイズ極限において、s-アンサンブルにおける相転移と整合する非解析的構造が明らかになる。
• 積率生成関数の漸近的解析に基づき、s-アンサンブルの相図が予想される。
• この手法により、行列アンザッツと代数的ベーテアンザッツの間の直接的な関係が確立され、長年の概念的ギャップが解消される。
• 正確な結果により、熱力学的極限においても境界ヘリウム源に起因する非自明な流量ゆらぎが存在することが確認される。
• 解析により、流量の極限的偏差が、境界における注入・抽出レートと系サイズの非自明な相互作用によって支配されることを示す。