[論文レビュー] Exact Lattice Supersymmetry from Topological Field Theory

Simon Catterall|ArXiv.org|Sep 10, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、超対称的量子力学と位相的場理論（TQFT）の間の関係を活用することで、正確な超対称性を保つ格子場理論を構築する手法を提案する。連続体の計量を変形し、ブロッキング手順を用いて格子場を定義することで、ノルム的であるBRST対称性を保存し、超対称性のWard恒等式の切断依存性を排除することで、明示的な対称性の破れなしに超対称モデルの非摂動的シミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

We discuss the connection between supersymmetric field theories and topological field theories and show how this connection may be used to construct local lattice field theories which maintain an exact supersymmetry. It is shown how metric independence of the continuum topological field theory allows us to derive the lattice theory by blocking out of the continuum in a deformed geometry. This, in turn, allows us to prove the cut-off independence of certain supersymmetric Ward identities.

研究の動機と目的

• 従来のSUSY場理論の格子形式における明示的な超対称性の破れの問題を解決すること。
• 位相的量子場理論（TQFT）の計量不変性を活用して、正確な超対称性を保つ格子作用を構築すること。
• 連続体幾何の変形から導かれる格子作用を用いることで、超対称性のWard恒等式が切断に依存しないことを示すこと。
• TQFTのBRST対称性が、格子上での量子化においても、古典的に2つの位相的対称性のうち1つが破れている場合でも生存することを示すこと。
• 現在開発中である2次元スカラー模型や4次元ヤン・ミルズ理論などの高次元モデルへのこの手法の拡張

提案手法

• 拡張超対称性と位相的場理論の間の既知の対応関係を用いる。BRST対称性は、超荷のねじれ結合から生じる。
• 連続体TQFT作用をBRST変換の形で構築し、位相的不変性と観測量の計量不変性を保証する。
• 滑らかなステップ関数の極限によって定義される変形された計量を用いて、連続体場に対するブロッキング手順を適用し、格子上のブロック場を導出する。
• 変形された幾何における細胞上の平均として格子スカラー場およびフェルミオン場を定義し、エイブインと微分作用素を有限差分に写像する。
• ブロック場上で評価された連続体作用の極限として格子作用を導出し、フェルミオンに質量パラメータr=1のウィルソン型質量項が自然に得られる。
• 格子作用が正確に1つのBRST対称性を保存しており、関連するWard恒等式が数値的にも満たされることを確認する。これは、第二の対称性が古典的に破れている場合でも成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子上での超対称的量子力学の形式化において、格子の断片的効果による明示的破れを避けて、正確な超対称性を保てるか？
• RQ2 位相的場理論の計量不変性をどのように活用して、正確な超対称性を保つ格子作用を導出できるか？
• RQ3 格子作用が変形された連続体幾何から導かれる場合、超対称性のWard恒等式がどの程度切断に依存しないか？
• RQ4 古典的に破れている第二のBRST対称性のWard恒等式が、正確な対称性がないにもかかわらず、なぜ格子理論で保存されるのか？
• RQ5 この手法は、2次元スカラー模型や4次元ヤン・ミルズ理論などの高次元超対称モデルへ一般化可能か？

主な発見

• 変形された計量におけるブロッキングを用いて導かれた格子作用は、正確に1つのBRST対称性を保存し、関連するWard恒等式が非摂動的に満たされることを保証する。
• 4サイトの格子で $ P' = g\theta^3 $ を用いた数値結果から、$ \tilde{\rho}_1 $ のWard恒等式が非常に高い精度で満たされている：$ \rho_1(0) = 0.8895(11) $、$ \rho_1(1) = 0.6152(10) $、誤差内での期待値と一致する。
• 第二の対称性 $ \tilde{\rho}_2 $ のWard恒等式についても、古典的作用がこの対称性を破っているにもかかわらず、数値的に正確に満たされている：$ \rho_2(0) = -0.8895(11) $、$ \rho_2(1) = -0.3016(11) $、符号反転の期待値と整合的である。
• 格子作用は自然にフェルミオンに $ r=1 $ のウィルソン質量項を生成し、フェルミオンのスペクトルを安定化させ、種の二重化を回避する。
• 特異的で変形された幾何におけるブロッキング手順は、ブロッキングパrameter $ \beta \to \infty $ の極限で連続体TQFTと等価な格子理論を生成する。これにより位相的不変性が保証される。
• TQFTのノルム的BRST構造を活用することで、格子超対称性に関する標準的な禁断の定理を回避し、正確な超対称性を持つ格子作用を体系的に構築する手法が提供される。