[論文レビュー] Exact Models for Symmetry-Protected Topological Phases in One Dimension

Scott Geraedts, Olexei I. Motrunich|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Topological Materials and Phenomena被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元の $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 対称性保護型位相（SPT）相を正確に解けるモデルとして提示する。このモデルは、1つの $Χ_{N}$ 対称性のドメインウォールを、別の $Χ_{N}$ 対称性の電荷に結合させ、その束縛状態を凝縮することでトポロジカル秩序を実現する。モデルは $N$ 個の異なる SPT 相を実現し、対称性が $Χ_{r}\timesΧ_{r}$（$r = N/d$）に部分的に破れる場合、追加で $r$ 個のトポロジカル相を実現する。これらの相はすべて摂動に対して安定である。

ABSTRACT

We present an exactly solvable model for one-dimensional symmetry-protected topological phases with $\mathbb{Z}_N imes\mathbb{Z}_N$ symmetry. The model works by binding point topological defects (domain walls) of one symmetry to charges of the other and condensing these bound states. Binding single topological defects to charges leads to symmetry-protected topological phases, while binding multiple topological defects to charges leads to phases with a combination of symmetry-breaking and topological properties.

研究の動機と目的

• 1次元の対称性保護型位相（SPT）相に対して、$Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 対称性を有する正確な可解モデルを構築すること。
• $Χ_{2}\timesΧ_{2}$ SPT 相に関する先行研究を一般の $N$ に拡張し、対称性の破れとトポロジーの両方を統合した相を扱うこと。
• ドメインウォールと電荷を結合させることでトポロジカル秩序が実現されること、および対称性の部分的破れが複数のトポロジカル相を生じることを示すこと。
• $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 対称性に対して $N$ 個の可能なすべての SPT 相がモデルで実現されること、および対称性が $Χ_{r}\timesΧ_{r}$ に低下した場合に $r$ 個の相が実現されることを示すこと。
• これらの相が摂動に対して安定であることを確立し、それらの間の遷移を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• モデルは、奇数番目と偶数番目の格子サイトに交互に配置された2種類の $Χ_{N}$ 変数を用い、$XZ = \omega ZX$ を満たす $Z$ と $X$ 演算子を含むハミルトニアン項を導入する。ここで $\omega = e^{i2\pi/N}$ である。
• ハミルトニアンは $H = H_{\text{odd}} + H_{\text{even}}$ の形に構成され、各項は隣接するサイトに存在するドメインウォール（$Z^\dagger$ と $Z$ を用いて）と電荷（$X^d$ を用いて）を結合する。
• 基底状態は $Z$-基底における固有値問題を解くことで得られ、可換なハミルトニアン項から導かれる波動関数の振幅制約が用いられる。
• $d$ が $N$ を割り切る場合、自発的対称性破れにより、$\tilde{d}^2 = (N/d)^2$ の基底状態 degeneracy が生じる。ここで $\tilde{d} = N/d$ である。
• 開放境界条件の下では、さらに $(r/\tilde{c}')^2$ のデジェネラシーがエッジ状態から生じる。ここで $\tilde{c}' = \gcd(c,r)$ であり、$r = N/d$ である。
• $c$ と $d$ が互いに素でない場合、マクロなデジェネラシーを除去するために摂動 $\delta H' = -J\sum_i [(Z_{i-1}^\dagger Z_{i+1})^r + h.c.]$ が追加され、トポロジカル構造は変化しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $N$ に対して、$Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 対称性を有する1次元 SPT 相を正確に解けるモデルとして構築可能か？
• RQ2 ドメインウォールと電荷を結合させることで、1次元でどのようにしてトポロジカル秩序が実現されるのか。また、対称性分数量化の役割は何か？
• RQ3 $N$ が合成数である場合、トポロジカル相の数と対称性の破れのパターンとの関係は何か？
• RQ4 基底状態のデジェネラシーはどのように生じるのか。その起源はトポロジカル秩序か、自発的対称性破れか？
• RQ5 これらのトポロジカル相は局所的摂動に対して安定か。また、ストリングオーダー関数またはエンタングルメントスペクトルによって診断可能か？

主な発見

• モデルは $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 対称性に対して $N$ 個の異なるトポロジカル相を実現し、これは結合パラメータ $c$ の異なる値に対応する。
• 対称性が $Χ_{r}\timesΧ_{r}$（$r = N/d$）に部分的に破れる場合、モデルは $r$ 個の異なるトポロジカル相を実現する。これらの相はすべて、$c$ の異なる選択によって到達可能である。
• 基底状態のデジェネラシーは $\tilde{d}^2 = (N/d)^2$ であり、これは自発的対称性破れに起因する。このデジェネラシーは局所的摂動に対して安定である。
• 開放鎖の場合は、エッジモードに起因する追加の $(r/\gcd(c,r))^2$ のデジェネラシーが加わり、保護されたエッジ状態としてのトポロジカル秩序の存在を示している。
• $X_i$ や $Z_{i-1}^\dagger Z_{i+1}$ などの局所的摂動に対してもモデルは安定であり、DMRG および符号フリーのモンテカルロ計算によって確認された。
• $c$ と $d$ が互いに素でない場合、マクロなデジェネラシーを除去するための摂動 $\delta H'$ が導入され、トポロジカル分類は変化せず、明確な位相が保証される。