[論文レビュー] Exact Potts Model Partition Functions for Strips of the Square Lattice

Jesús Salas, Shu-Chiuan Chang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2001

Theoretical and Computational Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、さまざまな境界条件をもつ正方形格子の無限長ストリップにおけるポッツ模型の分配関数の正確な解析的表現を提示し、固有値と係数を用いた閉形式の公式を導出する。主な貢献は、熱力学的極限における分配関数の零点の蓄積集合として、複素 q-平面および v-平面における特異的領域 𝒫 を同定し、無限格子における臨界的挙動を明らかにすることにある。

ABSTRACT

We present exact calculations of the Potts model partition function $Z(G,q,v)$ for arbitrary $q$ and temperature-like variable $v$ on $n$-vertex square-lattice strip graphs $G$ for a variety of transverse widths $L_t$ and for arbitrarily great length $L_\ell$, with free longitudinal boundary conditions and free and periodic transverse boundary conditions. These have the form $Z(G,q,v)=\sum_{j=1}^{N_{Z,G,\lambda}} c_{Z,G,j}(\lambda_{Z,G,j})^{L_\ell}$. We give general formulas for $N_{Z,G,j}$ and its specialization to $v=-1$ for arbitrary $L_t$ for both types of boundary conditions, as well as other general structural results on $Z$. The free energy is calculated exactly for the infinite-length limit of the graphs, and the thermodynamics is discussed. It is shown how the internal energy calculated for the case of cylindrical boundary conditions is connected with critical quantities for the Potts model on the infinite square lattice. Considering the full generalization to arbitrary complex $q$ and $v$, we determine the singular locus ${\cal B}$, arising as the accumulation set of partition function zeros as $L_\ell o \infty$, in the $q$ plane for fixed $v$ and in the $v$ plane for fixed $q$.

研究の動機と目的

• 無限長ストリップにおける正方形格子のポッツ模型分配関数 Z(G,q,v) の正確で閉形式の表現を、任意の q および v に対して導出すること。
• これらの格子ストリップの無限長極限における自由エネルギーおよび熱力学的性質を分析すること。
• Lℓ → ∞ のとき、固定された v に対する複素 q-平面および固定された q に対する複素 v-平面における特異的領域 𝒫 を、分配関数の零点の蓄積集合として同定すること。
• 円筒型境界条件の下での内部エネルギーを、無限正方形格子ポッツ模型の臨界的量と関連付けること。
• q および v の任意の複素値への一般化により、ポッツ模型における相転移の理解を拡張すること。

提案手法

• 分配関数は固有値の和として表される：Z(G,q,v) = Σj cZ,G,j (λZ,G,j)^Lℓ であり、固有値 λZ,G,j は横方向の幅 Lt および境界条件に依存する。
• 和の項数 N_{Z,G,j} の一般式を導出し、v = -1 および自由および周期的横方向境界条件の両方のケースに特化する。
• 和における支配的固有値を用いて、Lℓ → ∞ の極限における自由エネルギーを正確に計算し、熱力学的解析を可能にする。
• 特異的領域 𝒫 は、Lℓ → ∞ のとき、複素 q-平面および v-平面における分配関数の零点の蓄積点の集合として同定される。
• q および v の複素数への解析接続により、実数パラメータを超えた臨界現象の研究が可能になる。
• 円筒型境界条件の下で内部エネルギーを計算し、無限格子の臨界指数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の q および v に対して、異なる横方向境界条件をもつ正方形格子の無限長ストリップにおけるポッツ模型分配関数は、どのように振る舞うか？
• RQ2 これらの格子ストリップの熱力学的極限における自由エネルギーの正確な形は何か？
• RQ3 Lℓ → ∞ のとき、固定された v に対する複素 q-平面および固定された q に対する複素 v-平面における特異的領域 𝒫 は、どこに現れるか？
• RQ4 円筒型境界条件の下での内部エネルギーは、無限正方形格子ポッツ模型の臨界挙動とどのように関連するか？
• RQ5 任意の複素 q および v に対して、分配関数 Z(G,q,v) にどのような構造的性質が現れるか、特に固有値分解の観点から。

主な発見

• 分配関数 Z(G,q,v) は、Lt および境界条件に依存する係数と固有値をもつ、Lℓ に関する有限和の指数関数的表現として正確に表現可能である。
• v = -1 のとき、自由および周期的横方向境界条件の両方に対して、項数 N_{Z,G,j} が閉形式で導出され、任意の Lt に対して成立する。
• Lℓ → ∞ の極限における自由エネルギーは正確に計算可能であり、支配的固有値が熱力学的挙動を決定する。
• 固定された v に対する複素 q-平面および固定された q に対する複素 v-平面における特異的領域 𝒫 は、熱力学的極限における分配関数の零点の蓄積集合として同定される。
• 円筒型境界条件の下で計算された内部エネルギーは、無限格子ポッツ模型の臨界量と直接的な関係を示す。
• q および v の任意の複素数への一般化により、分配関数に豊かな構造が現れ、特異的領域 𝒫 が相転移特異点を完全に特徴づける。