[論文レビュー] Exact Pricing and Hedging Formulas of Long Dated Variance Swaps under a $3/2$ Volatility Model

Leunglung Chan, Eckhard Platen|RePEc: Research Papers in Economics|Jul 18, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、等価リスク中立測度を必要としないベンチマークアプローチを用いて、$3/2$ 確率的ボラティリティモデル下での長期バイアス・バームズの正確な解析的価格設定およびヘッジ式を導出する。主な貢献は、重合超幾何関数および二乗付きボレル過程を含む明示的な閉形式解であり、リスク中立測度が存在しない場合でさえも最小価格を実現可能にする。

ABSTRACT

This paper investigates the pricing and hedging of variance swaps under a $3/2$ volatility model. Explicit pricing and hedging formulas of variance swaps are obtained under the benchmark approach, which only requires the existence of the numéraire portfolio. The growth optimal portfolio is the numéraire portfolio and used as numéraire together with the real world probability measure as pricing measure. This pricing concept provides minimal prices for variance swaps even when an equivalent risk neutral probability measure does not exist.

研究の動機と目的

• 等価リスク中立測度が存在しない場合でも、$3/2$ ボラティリティモデル下でのバイアス・バームズの強固な価格設定およびヘッジフレームワークの構築を目的とする。
• 成長最適ポートフォリオをナマラとして使用するベンチマークアプローチ（リスク中立測度を必要としない）を拡張し、リスク中立測度を要件としないバイアス・バームズ評価に適用する。
• 現実世界の $3/2$ モデル下でのバイアス・バームズ価格およびそのベーガー感応度の明示的解析的公式を導出する。
• 実証的パrameter推定値と満期依存のスワップレートを用いて、モデルのキャリブレーションおよび数値的性能を示す。

提案手法

• 成長最適ポートフォリオをナマラとして使用し、現実世界確率測度を用いた価格設定を行うベンチマークアプローチを採用し、等価マルティンググール測度の必要性を回避する。
• ボラティリティ過程のダイナミクスは、時間に依存するパrameterを持つ二乗付きボレル過程に従う $3/2$ モデルに従う。
• バイアス・バームズの価格公式は、統合逆ボラティリティの期待値を計算することで導出され、重合超幾何関数および無限級数展開を用いて表現される。
• 解法は、変換を経て修正ベッセル関数および一般化超幾何関数 $_2F_2$ を含む形に変換する。
• バイアス・バームズのベーガーは、ボラティリティパラメータ $y$ に関する期待値の微分を、連鎖則および超幾何級数の微分を用いて計算する。
• 数値結果は、キャリブレーション済みパラメータ（$b = \eta$, $a_1 = b$, $\gamma = 0.0137$）を用い、満期に応じてベンチマークおよびリスク中立的アプローチの両方と比較される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等価リスク中立測度が存在しない $3/2$ ボラティリティモデル下でも、バイアス・バームズの正確な解析的価格設定公式を導出可能か？
• RQ2 ベンチマークアプローチは、$3/2$ モデル下でバイアス・バームズを評価する際、従来のリスク中立的アプローチと比較してどのように異なるか？
• RQ3 現実世界の $3/2$ モデル下でのバイアス・バームズ価格およびそのベーガーの解析的構造は何か？
• RQ4 価格結果は、異なる満期およびパラメータ値の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• ベンチマークアプローチは、等価リスク中立測度が存在しない場合でさえも、$3/2$ モデル下でのバイアス・バームズに対して最小価格を提供する。
• 重合超幾何関数および $_2F_2$ 超幾何関数を含む無限級数を用いた明示的な閉形式価格公式が導出された。
• 満期 0.25 年の場合、ベンチマークアプローチによるバイアス・バームズレートは 0.137767 であり、リスク中立的レートの 0.480415 より顕著に低い。
• 満期が延びるにつれ、ベンチマークとリスク中立的レートの差は縮小する：2 年では、ベンチマークレートは 0.360989、リスク中立的価格では 0.290785 である。
• バイアス・バームズのベーガーは、ボラティリティパラメータ $y$ の関数として解析的に導出され、その微分は超幾何級数の微分を用いて表現される。
• モデルは実証的パラメータ（$\gamma = 0.0137$, $b = \eta$, $a_1 = b$）を用いてキャリブレーションされ、数値結果は導出された公式の安定性および収束性を確認した。