[論文レビュー] Exact quantum Fourier transforms and discrete logarithm algorithms

Michele Mosca, Christof Zalka|ArXiv.org|Jan 17, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、振幅増幅を用いてキタエフの近似固有値推定手順を補正することで、任意の次数（特に大きな素数を含む）に対して量子フーリエ変換（QFFT）を正確に実装する手法を提示する。主な貢献は、ショアの離散対数問題アルゴリズムを正確化することであり、量子アルゴリズムが確率的でなくてもよいことを示し、ゲートパラメータが効率的に計算可能な一様な回路族を提供することにある。

ABSTRACT

We show how the quantum fast Fourier transform (QFFT) can be made exact for arbitrary orders (first for large primes). For most quantum algorithms only the quantum Fourier transform of order $2^n$ is needed, and this can be done exactly. Kitaev \cite{kitaev} showed how to approximate the Fourier transform for any order. Here we show how his construction can be made exact by using the technique known as ``amplitude amplification''. Although unlikely to be of any practical use, this construction e.g. allows to make Shor's discrete logarithm quantum algorithm exact. Thus we have the first example of an exact non black box fast quantum algorithm, thereby giving more evidence that ``quantum'' need not be probabilistic. We also show that in a certain sense the family of circuits for the exact QFFT is uniform. Namely the parameters of the gates can be calculated efficiently.

研究の動機と目的

• 既存の構成が近似であったのに対し、特に大きな素数を含む任意の次数に対して正確な量子フーリエ変換（QFFT）を開発すること。
• 確率的量子アルゴリズムの制限を克服し、正確なQFFTを用いてショアの離散対数問題アルゴリズムを正確化すること。
• 正確なQFFTのための回路族が一様であることを示し、次数からゲートパラメータを効率的に計算可能であることを示すこと。
• 振幅増幅の適用範囲を探索問題を超えて、QFFTのようなユニタリ変換へと拡張すること。

提案手法

• QFFTにおけるキタエフの近似固有値推定手順を、振幅増幅を用いて正確化することで、正確な手続きに変換する。
• ヒューリスティックなアルゴリズムを、成功確率が正確に 1/4 になるように修正し、1回の振幅増幅反復で正しい状態が確実に得られるようにする。
• 条件 $ x' = x $ をチェックすることで正しい固有値を認識する制御位相操作を導入し、選択的振幅増幅を可能にする。
• 奇数次数および2のべき乗のQFFTのテンソル積として正確なQFFTを構築し、合成次数のためのモジュラー構築を可能にする。
• 次数 $ q $ が因数分解されない場合に、反復的振幅増幅を離散対数問題に適用し、各ステップで問題のサイズを少なくするが、新しい特殊ゲートを追加しない。
• すべてのゲートパラメータが次数 $ q $ から効率的に計算可能であることを保証し、回路の一様性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次数（特に大きな素数を含む）に対して、量子フーリエ変換を正確に実装できるか、2のべき乗に限らないか？
• RQ2 振幅増幅を用いて近似量子アルゴリズムを正確なものに変換できるか、特にQFFTに対しては？
• RQ3 正確なQFFTを用いてショアの離散対数問題アルゴリズムを正確化でき、確率的出力を取り除けるか？
• RQ4 正確なQFFTのための回路族は一様であるか？ また、入力次数からゲートパラメータを効率的に計算可能か？
• RQ5 群の次数の因数分解が未知である場合に、正確なQFFTを用いて離散対数問題アルゴリズムを正確化できるか？

主な発見

• 本稿では、キタエフの固有値推定手順を振幅増幅で正確化することで、任意の次数（特に大きな素数を含む）に対して正確な量子フーリエ変換を構築する。
• 振幅増幅手順の成功確率を 1/4 に調整し、1回の反復で正しい状態が確実に得られることを保証する。
• 正確なQFFTを用いてショアの離散対数問題アルゴリズムを正確化し、非ブラックボックス型の高速量子アルゴリズムとしての正確な例を初めて示す。
• 正確なQFFTのための回路族は一様である。すべてのゲートパラメータは、因数分解を知らなくても次数 $ q $ から効率的に計算可能である。
• 次数の因数分解が未知の離散対数問題に対して、$ O(\log q) $ 回の実行が行われ、各実行で問題のサイズが少なくとも2倍に減少する。この間、同じゲートセットを再利用する。
• 反復中に新しい特殊ゲートを導入しないため、一様性が保たれ、効率的に計算されたパラメータから1つの量子回路を構築可能である。