[論文レビュー] Exact results and open questions in first principle functional RG

Pierre Le Doussal|ArXiv.org|Sep 6, 2008

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ピン留め弾性系における関数的自己エネルギー群（FRG）と、バーガース方程式におけるショックおよびドロップレットの統計力学との間の正確な関係を確立する。FRGスケーリング関数 R(u) および高次モーメントが、滑らかな調和井戸内の再規格化されたポテンシャルのモーメントから導出可能であることを証明し、d=0 における R(u) の第一原理的計算を可能にするとともに、ショックおよびドロップレット統計を用いて ε=4−d 展開の妥当性を検証する。

ABSTRACT

Some aspects of the functional RG (FRG) approach to pinned elastic manifolds (of internal dimension $d$) at finite temperature $T>0$ are reviewed and reexamined in this much expanded version of [Europhys. Lett. {\bf 76} 457 (2006)]. The particle limit $d=0$ provides a test for the theory: there the FRG is equivalent to the decaying Burgers equation, with viscosity $ν\sim T$ - both being formally irrelevant. Analogy between Kolmogorov scaling and FRG cumulant scaling is discussed. Next we prove that the FRG function $R(u)$ and higher cumulants defined from the field theory can be obtained {\it for any $d$} from moments of a renormalized potential defined in an sliding harmonic well. This allows to measure the fixed point function $R(u)$ in numerics and experiments. In $d=0$ the beta function (of the inviscid limit) is obtained from first principles to four loop. For Sinai model (uncorrelated Burgers initial velocities) the ERG hierarchy can be solved and the exact function $R(u)$ is obtained. Connections to exact solutions for the statistics of shocks in Burgers and to ballistic aggregation is detailed. A relation is established between the size distribution of shocks and the one for droplets. A droplet solution to the ERG functional hierarchy is found for any $d$, and the form of $R(u)$ in the thermal boundary layer is related to droplet probabilities. These being known for the $d=0$ Sinai model the function $R(u)$ is obtained there at any $T$. Consistency of the $ε=4-d$ expansion in one and two loop FRG is studied from first principles, and connected to shock and droplet relations which could be tested in numerics.

研究の動機と目的

• 任意の次元 d におけるピン留め弾性多様体の FRG スケーリング関数 R(u) の第一原理的導出を確立すること。
• 関数的RGアプローチと、特に d=0 粒子極限におけるバーガース方程式のショックおよびドロップレットの統計力学との関連を付けること。
• ショックおよびドロップレット統計に帰着させることで、1 ループおよび 2 ループにおける ε=4−d 展開の妥当性を検証すること。
• スライディング調和井戸内での再規格化されたポテンシャルのモーメントを用いた R(u) の測定のための数値的および実験的手順を提供すること。
• シナイトモデルにおける ERG 階層の構造を解明し、有限温度における正確な R(u) 関数を導出すること。

提案手法

• 任意の d に対して、スライディング調和井戸内の再規格化されたポテンシャルのモーメントから FRG 関数 R(u) を導出する。
• d=0 における FRG が、粘性係数 ν ∼ T である減衰バーガース方程式と等価であることを用い、正確な解を得る。
• 非粘性極限を適用して、d=0 における 4 ループ階層の β 関数を第一原理的に計算する。
• 初期速度が無相関であるシナイトモデルにおいて、ERG 階層を正確に解き、有限温度における正確な R(u) 関数を導出する。
• d=0 におけるショックサイズ分布とドロップレット確率分布との間に双対性を確立する。
• R(u) の熱的境界層挙動を既知のドロップレット確率と関連づけ、有限温度における正確な計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FRG スケーリング関数 R(u) は、摂動的展開を超えて、任意の d に対して第一原理的に導出可能か？
• RQ2 有限温度における d=0 における R(u) の正確な形は何か？ また、バーガース方程式におけるショック統計とどのように関連するか？
• RQ3 バーガース方程式におけるショックおよびドロップレット統計は、FRG 機能的階層とどのように関連するか？
• RQ4 1 ループおよび 2 ループにおける ε=4−d 展開は、ショックおよびドロップレット統計からの正確な結果とどの程度整合するか？
• RQ5 数値シミュレーションまたは実験において、再規格化されたポテンシャルのモーメントを用いて FRG 関数 R(u) を測定可能か？

主な発見

• 任意の d に対して、スライディング調和井戸内の再規格化されたポテンシャルのモーメントから、FRG 関数 R(u) および高次コマリントが正確に計算可能である。
• d=0 において、非粘性極限の β 関数が第一原理的に 4 ループ階層まで導出可能である。
• シナイトモデルにおいて、有限温度における正確な R(u) 関数が得られ、既知のドロップレット確率と関連づけられた。
• バーガース方程式におけるショックサイズ分布が、d=0 におけるドロップレット確率分布と等価であることが示された。
• R(u) の熱的境界層形態が明示的にドロップレット確率と関連づけられ、d=0 における正確な計算が可能になった。
• 正確なショックおよびドロップレット関係を用いて、1 ループおよび 2 ループにおける ε=4−d 展開の整合性が検証され、数値的に検証可能な関係が得られた。