[論文レビュー] Exact Results for Perturbative Chern-Simons Theory with Complex Gauge Group

Tudor Dimofte, Sergei Gukov+2 more|ArXiv.org|Mar 13, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 57被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、複素リー群 $G_{bC}$ を用いた Chern-Simons 理論に対して、正確な摂動的手法を構築し、平坦接続の周りでの停留点近似を用いて全ループの分配関数を計算する。これらの不変量が、コンパクトな $G$ 理論における Vassiliev 不変量とは位相的に異なることを確立し、高次のループ計算を明示的に行い、幾何的量子化と整合することを確認するとともに、算術的 TQFT の概念を導入する。

ABSTRACT

We develop several methods that allow us to compute all-loop partition functions in perturbative Chern-Simons theory with complex gauge group G_C, sometimes in multiple ways. In the background of a non-abelian irreducible flat connection, perturbative G_C invariants turn out to be interesting topological invariants, which are very different from finite type (Vassiliev) invariants obtained in a theory with compact gauge group G. We explore various aspects of these invariants and present an example where we compute them explicitly to high loop order. We also introduce a notion of "arithmetic TQFT" and conjecture (with supporting numerical evidence) that SL(2,C) Chern-Simons theory is an example of such a theory.

研究の動機と目的

• 複素ゲージ群 $G_{bC}$ を用いた Chern-Simons 理論における摂動的分配関数を正確に計算する手法を開発すること。
• コンパクトな $G$ 理論における有限型不変量とは異なる、非アーベル的で非可約な平坦接続から生じる位相的不変量を同定すること。
• 摂動的 $G_{bC}$ 不変量と平坦接続のモジュライ空間の幾何的量子化との間の関係を確立すること。
• $SL(2,bC)$ Chern-Simons 理論が算術的性質を示すことを示し、数値的証拠を提示することで「算術的 TQFT」の存在を提唱すること。
• 停留点近似と量子ダイログラミス関数の展開を用いて、高次のループにおける分配関数を明示的に計算すること。

提案手法

• Chern-Simons 経路積分に対して停留点近似を適用し、$ ho: ilde{ ho} o G_{bC}$ の共役類によってラベル付けられた平坦接続に対応する臨界点の周りで展開する。
• 量子ダイログラミス関数 $e^{ ilde{ ho}( ilde{ ho},u)}$ の展開を用いて、作用展開における係数 $ ilde{ ho}_{j,k}(p,u)$ を計算する。
• 臨界点 $p^{( ho)}(u)$ から得られる $V^{( ho)}$, $b^{( ho)}$, $ ilde{ ho}_{j,k}^{( ho)}$ を用いて、摂動的分配関数を $Z^{( ho)}(M; ilde{ ho},u) = \text{exp}\big[ \frac{1}{\tilde{ ho}} V^{( ho)}(u) - \frac{1}{2}\text{log}\frac{b^{( ho)}}{m^2} + S_2^{( ho)}\tilde{ ho} + \text{higher order} \big]$ として導出する。
• 幾何的および共役臨界点における作用 $V^{( ho)}(u)$ とヘッセ行列 $b^{( ho)}$ を、$\text{Li}_2(-e^{\bullet})$ を含む多価対数関数の表現を用いて計算する。
• 摂動展開と幾何的量子化の結果が八ループまで一致することを検証し、一貫性を確認する。
• 量子ダイログラミス関数の対称性を用いて、$S_n^{(\text{conj})} = (-1)^{n-1} S_n^{(\text{geom})}$ を証明し、幾何的および共役臨界点を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素ゲージ群 $G_{bC}$ を用いた Chern-Simons 理論において、どのようにして摂動的分配関数を正確に計算できるか？
• RQ2 非アーベル的で非可約な平坦接続から生じる $G_{bC}$-CS 理論の位相的不変量は何か？また、コンパクトな $G$ 理論における Vassiliev 不変量とはどのように異なるか？
• RQ3 摂動的 $G_{bC}$ 不変量は、平坦接続のモジュライ空間の幾何的量子化の予測とどの程度一致するか？
• RQ4 $SL(2,bC)$ Chern-Simons 理論は算術的性質を示すか？これは「算術的 TQFT」の存在を支持する証拠となるか？
• RQ5 幾何的および共役臨界点における摂動係数 $S_n^{(\rho)}(u)$ の振る舞いは何か？それらの構造を支配する対称性は何か？

主な発見

• 停留点近似と量子ダイログラミス関数の展開を用いて、$G_{bC}$-CS 理論の摂動的分配関数を高次のループまで正確に計算し、多価対数関数の形で明示的な結果を得た。
• 幾何的臨界点 $p^{(\text{geom})}(u)$ に対しては、$V^{(\text{geom})}(u) = \frac{1}{2}\big[\text{Li}_2(-e^{p^{(\text{geom}})-u}) - \text{Li}_2(-e^{-p^{(\text{geom}})-u}) - 4p^{(\text{geom}})u + 4\tilde{\rho} iu\big]$ が得られ、$b^{(\text{geom})}(u) = \frac{i m^2}{2} \tilde{\rho}(m)$ となる。
• 共役臨界点では $V^{(\text{conj})}(u) = -V^{(\text{geom})}(u)$ かつ $b^{(\text{conj})}(u) = -b^{(\text{geom})}(u)$ を満たし、すべての $n$ に対して $S_n^{(\text{conj})} = (-1)^{n-1} S_n^{(\text{geom})}$ が成り立つ。
• 停留点近似によって得られた摂動係数 $S_n^{(\text{geom})}(u)$ は、モジュライ空間の幾何的量子化から得られる結果と、八ループまで完全に一致する。
• 幾何的臨界点における分配関数は、$Z^{(\text{geom})}(M;\tilde{\rho},u) = \text{exp}\big[ \frac{1}{\tilde{\rho}} V^{(\text{geom})}(u) - \frac{1}{2}\text{log} b^{(\text{geom})} + u + S_2^{(\text{geom})}\tilde{\rho} + \text{higher terms} \big]$ と表され、$S_2$, $S_3$ は $\tilde{\rho}_{j,k}$ の明示的表現をもつ。
• 本稿では、$SL(2,bC)$ Chern-Simons 理論が「算術的 TQFT」の例であるという強い数値的証拠を提示し、分配関数が数論的構造を示していることを示した。