[論文レビュー] Exact results for supersymmetric quantum mechanics on the lattice

David Baumgartner, Urs Wenger|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2012

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、フェルミオンループ形式と転送行列技術を用いて、格子上における $\mathcal{N}=2$ スーパーシンメトリー量子力学の正確な結果を提示する。連続極限におけるスーパーシンメトリーの回復と、破れたスーパーシンメトリー下でのゴールドスティノモードの出現を示し、ボソン的およびフェルミオン的領域を分離することで、符号問題を効果的に回避している。

ABSTRACT

We discuss N=2 supersymmetric quantum mechanics on the lattice using the fermion loop formulation. In this approach the system naturally decomposes into a bosonic and fermionic sector. This allows us to deal with the sign problem arising in the context of broken supersymmetry due to the vanishing of the Witten index. Employing transfer matrix techniques we obtain exact results at finite lattice spacing and are hence able to study how the continuum limit is approached. In particular, we determine how supersymmetry is restored and how, in the case of broken supersymmetry, the goldstino mode emerges.

研究の動機と目的

• 格子上における $\mathcal{N}=2$ スーパーシンメトリー量子力学の非摂動的挙動を、正確な手法を用いて研究すること。
• Witten指標が消える破れたスーパーシンメトリーに起因するフェルミオンの符号問題に対処すること。
• 連続極限におけるスーパーシンメトリーの回復およびスペクトル内でのゴールドスティノモードの出現を調査すること。
• 質量ゼロのフェルミオンモードを有する系に対してフェルミオンループ形式が効果的に機能することを示すこと。
• 転送行列を用いて有限格子間隔における分配関数および質量ギャップの正確な結果を提供すること。

提案手法

• フェルミオンループ形式を用いて分配関数をボソン的およびフェルミオン的寄与に分離し、符号問題のないシミュレーションを可能にする。
• 転送行列技術を用いて有限格子間隔における正確な固有値およびスペクトルデータを計算する。
• フェルミオンダブラーを回避するため $r=1$ のウィルソン型格子微分を用い、連続極限でのスーパーシンメトリーの回復のために補正項を追加する。
• Witten指標は $W = \text{Tr}_b e^{-\beta H} - \text{Tr}_f e^{-\beta H}$ として計算され、フェルミオン統合後に $\text{det}\thinspace D(\theta)$ を介して分配関数が表現される。
• 偶数次および奇数次の最高次項を有するスーパーポテンシャルを用いて、未破れたおよび破れたスーパーシンメトリーの両相において系を研究する。
• 逆温度 $\beta = 1/T$ を固定した状態で $a \to 0$ として連続極限に近づけ、$T \to 0$ と $a \to 0$ の極限の順序に関する注意深い分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限格子間隔におけるWitten指標 $W$ の振る舞いは何か？また、$T \to 0$ と $a \to 0$ の極限の順序の役割は何か？
• RQ2 特にボソン的状態とフェルミオン的状態のデゲネラシーが連続極限でどのように回復されるか？
• RQ3 破れたスーパーシンメトリー下で、ゴールドスティノモード（ゼロエネルギーのフェルミオン励起状態）はどのようにして出現するか？
• RQ4 質量ギャップにおける格子アーティファクトの性質は何か？また、格子間隔 $a$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 フェルミオンループ形式は、Witten指標がゼロとなる破れたスーパーシンメトリーを有する系において、符号問題を効果的に処理できるか？

主な発見

• 破れたスーパーシンメトリー下では、有限な $a$ における $T \to 0$ 限界でWitten指標 $W$ は $-1$ となり、単一のフェルミオン的基底状態を示し、$T \to 0$ の後に $a \to 0$ に近づけることでのみ連続極限で $0$ に近づく。
• 未破れたスーパーシンメトリー下では、有限な $a$ における $T \to 0$ 限界で $W = +1$ となり、一意のボソン的基底状態を反映し、連続極限でも $+1$ のまま維持される。
• ボソン的およびフェルミオン的領域における最低励起エネルギーギャップが連続極限でデゲネラシーを示し、スーパーシンメトリーの回復が確認される。
• ゴールドスティノモード（破れた相におけるゼロエネルギーのフェルミオン励起状態）は、$a \to 0$ 限界でのみ出現し、有限な $a$ ではその質量が $a$ に対して上からゼロに近づく。
• 質量ギャップにおける格子アーティファクトは、大多数の状態で ${\rm O}(a)$ であるが、破れたスーパーシンメトリー下の $F=0$ セクターにおけるボソン的質量ギャップでは ${\rm O}(a^2)$ である。
• フェルミオンループ形式は符号問題を行列式構造にのみ分離し、連続極限で $Z_{PBC} = 0$ であっても、観測量の正確な計算を可能にする。