[論文レビュー] Exact search algorithm to factorize large biprimes and a triprime on IBM quantum computer

Avinash Dash, Deepankar Sarmah+2 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、一般化されたグローバーのアルゴリズムに基づく正確な探索アルゴリズムを提示し、IBMの5量子ビットおよび16量子ビットの量子プロセッサ上で、4088459および966887という大きな二素数および175という三素数を因数分解した。整数の因数分解を最適化問題に再定式化し、位相マッチングを用いた振幅増幅を活用することで、最小限の量子ビットで、これまでにない大きな整数を量子デバイス上で実験的に因数分解することに成功し、高い忠実度の結果を得るとともに、複数素数の整数へのスケーラビリティを示した。

ABSTRACT

Factoring large integers using a quantum computer is an outstanding research problem that can illustrate true quantum advantage over classical computers. Exponential time order is required in order to find the prime factors of an integer by means of classical computation. However, the order can be drastically reduced by converting the factorization problem to an optimization one and solving it using a quantum computer. Recent works involving both theoretical and experimental approaches use Shor's algorithm, adiabatic quantum computation and quantum annealing principles to factorize integers. However, our work makes use of the generalized Grover's algorithm as proposed by Liu, with an optimal version of classical algorithm/analytic algebra. We utilize the phase-matching property of the above algorithm for only amplitude amplification purposes to avoid an inherent phase factor that prevents perfect implementation of the algorithm. Here we experimentally demonstrate the factorization of two bi-primes, 4088459 and 966887 using IBM's 5- and 16-qubit quantum processors, hence making those the largest numbers that have been factorized on a quantum device. Using the above 5-qubit processor, we also realize the factorization of a tri-prime integer 175, which had not been achieved to date. We observe good agreement between experimental and theoretical results with high fidelities. The difficulty of the factorization experiments has been analyzed and it has been concluded that the solution to this problem depends on the level of simplification chosen, not the size of the number factored. In principle, our results can be extended to factorize any multi-prime integer with minimum quantum resources.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子ハードウェア上で、特に二素数および三素数を含む大きな整数の実験的因数分解を示すこと。
• 断続的またはショア法に基づくアプローチではなく、位相マッチングを強化した正確な探索アルゴリズムを用いることで、従来の量子因数分解手法の制限を克服すること。
• 因数分解の難易度が数の大きさではなく、その因数の構造的性質に依存することを示し、最小限の量子ビットで大きな整数を効率的に因数分解できることを示すこと。
• 三素数175を量子デバイス上で初めて実験的に因数分解することに成功し、本手法の複数素数の整数へのスケーラビリティを検証すること。

提案手法

• 素因数を2進数列として符号化し、それらのビットが満たすべき方程式系を導出することで、因数分解問題を最適化問題に変換する。
• 解空間を符号化する非ユニタリなハミルトニアンを構築し、それを指数関数的に処理してユニタリな時間発展演算子を形成することで、ゲートモデル量子プロセッサへの直接実装を可能にする。
• 位相マッチングを用いた一般化されたグローバーのアルゴリズムを適用し、標準的な振幅増幅が妨げられる位相因子の問題を回避する。
• 古典的解析的代数を用いて最適化することで、必要な変数および量子ビット数を最小限に抑え、回路の深さと誤りへの感受性を低減する。
• プロトコルは、IBMの5量子ビット（ibmqx4）および16量子ビット（ibmqx5）の超伝導量子プロセッサ上で実装され、量子ビットの制御および読み出しは共面波ガイド（CPW）共振器を介して行われる。
• 量子ビット周波数、リラクゼーション時間（T1）、コherエンス時間（T2）といった実験的パラメータを慎重にキャリブレーションし、高忠実度の状態準備および測定を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたグローバー法に基づく正確な探索アルゴリズムは、近い将来の量子ハードウェア上で、ショア法や断続的量子計算と比較して、大きな二素数および三素数をより効率的に因数分解できるか？
• RQ2 量子整数因数分解の複雑さは、数の大きさに依存するのではなく、その素因数の構造的性質に依存するか？
• RQ3 振幅増幅における位相マッチング技術は、位相因子の障害が生じない完全なアルゴリズム実装を可能にするか？
• RQ4 ハミルトニアン設計および実装の課題を考慮しても、175のような三素数を量子プロセッサ上で実験的に因数分解することは可能か？
• RQ5 事前処理段階での単純化は、因数分解に必要な量子ビット数および回路の深さをどの程度低減できるか？

主な発見

• 本稿では、IBMの5量子ビットプロセッサを用いて2量子ビットのみで二素数4088459の因数分解を実験的に達成した。これは当時、量子デバイス上で因数分解された最大の数の記録を更新した。
• 同じ5量子ビットプロセッサ上での実験により、4量子ビットを用いて二素数966887の因数分解に成功し、本手法のスケーラビリティをさらに裏付けた。
• 三素数175が5量子ビットプロセッサ上で実験的に因数分解され、量子デバイス上で三素数因数分解を初めて成功させた。
• 実験的および理論的結果の間で強い一致が観察され、ノイズおよびデ coherent 破壊に対して高いロバスト性を示した。
• 175の因数分解には2量子ビット、966887の因数分解には4量子ビットのみを用いたが、計算の難易度が数の大きさではなく因数の構造に依存することを示した。
• 16量子ビットのibmqx5プロセッサは、より複雑な回路を実装でき、ゲートおよび読み出し誤り率（10⁻²〜10⁻³）が改善されており、本手法をより大きな整数へスケーリング可能であることを示唆した。