[論文レビュー] Exact separation phenomenon for the eigenvalues of large Information-Plus-Noise type matrices. Application to spiked models

Mireille Capitaine|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Random Matrices and Applications被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、大規模な情報＋ノイズ型ランダム行列の固有値スペクトルに正確な分離現象が生じることを確立し、$M_N = (\sigma X_N/\sqrt{N} + A_N)(\sigma X_N/\sqrt{N} + A_N)^*$ の極限スペクトル分布 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ におけるギャップが、$A_N A_N^*$ のスペクトルにおけるギャップと正確に一致することを示している。これは、軽微なモーメントおよびスペクトル的仮定のもとで成り立つ。主な貢献は、スパikedモデルにおける外れ値の特徴付けを、極限スペクトル測度およびStieltjes変換解析を用いて行ったことにある。

ABSTRACT

We consider large Information-Plus-Noise type matrices of the form $M_N=(\\sigma \\frac{X_N}{\\sqrt{N}}+A_N)(\\sigma \\frac{X_N}{\\sqrt{N}}+A_N)^*$ where $X_N$ is an $n \ imes N$ ($n\\leq N)$ matrix consisting of independent standardized complex entries, $A_N$ is an $n \ imes N$ nonrandom matrix and $\\sigma>0$. As $N$ tends to infinity, if $n/N \ ightarrow c\\in ]0,1]$ and if the empirical spectral measure of $A_N A_N^*$ converges weakly to some compactly supported probability distribution $\ u \ eq \\delta_0$, Dozier and Silverstein established that almost surely the empirical spectral measure of $M_N$ converges weakly towards a nonrandom distribution $\\mu_{\\sigma,\ u,c}$. Bai and Silverstein proved, under certain assumptions on the model, that for some closed interval in $]0;+\\infty[$ outside the support of $\\mu_{\\sigma,\ u,c}$ satisfying some conditions involving $A_N$, almost surely, no eigenvalues of $M_N$ will appear in this interval for all $N$ large. In this paper, we carry on with the study of the support of the limiting spectral measure previously investigated by Dozier and Silverstein and later by Vallet, Loubaton and Mestre and Loubaton and P. Vallet, and we show that, under almost the same assumptions as Bai and Silvertein, there is an exact separation phenomenon between the spectrum of $M_N$ and the spectrum of $A_NA_N^*$: to a gap in the spectrum of $M_N$ pointed out by Bai and Silverstein, it corresponds a gap in the spectrum of $A_NA_N^*$ which splits the spectrum of $A_NA_N^*$ exactly as that of $M_N$. We use the previous results to characterize the outliers of spiked Information-Plus-Noise type models.

研究の動機と目的

• 大規模な情報＋ノイズ型行列 $M_N = (\sigma X_N/\sqrt{N} + A_N)(\sigma X_N/\sqrt{N} + A_N)^*$ のスペクトル的挙動を $N \to \infty$ のとき調査すること。
• 極限スペクトル測度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ におけるギャップと $A_N A_N^*$ のスペクトルにおけるギャップとの間の正確な対応関係を確立すること。
• 特に $A_N$ が $\mu_{\sigma,\nu,c}$ のバルク領域の外側に孤立した固有値を持つ場合に、極端な固有値（外れ値）のほとんど確実な収束を特徴付けること。
• 先行研究におけるスペクトル分離の結果を拡張し、$\mu_{\sigma,\nu,c}$ の台に対する固有値外れ値の正確な局在化を証明すること。

提案手法

• 解析は、スペクトル測度 $\nu$ と比 $c = \lim n/N$ を含む固定点方程式を満たすStieltjes変換 $g_{\mu_{\sigma,\nu,c}}(z)$ に依存している。
• 本稿では、DozierとSilversteinの研究に基づく極限スペクトル測度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ を用い、$\mu_{M_N}$ のほとんど確実な弱収束を特徴づけている。
• スペクトルギャップ条件を適用：$[a,b]$ が $\text{supp}(\mu_{\sigma,\nu,c})$ の外部にある場合、モーメントおよび有界性の仮定のもとで、十分大きな $N$ に対して $M_N$ の固有値は $[a,b]$ に現れない。
• 著者らは、$A_N$ の固有構造、特に $A_N A_N^*$ の孤立した固有値 $\theta_j$ に注目し、それらの位置が $M_N$ の極限固有値位置とどのように関連するかを分析している。
• 極限スペクトル測度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ の累積分布関数の連続性および単調性を用いて、スペクトル端の間の区間において、固有値 $\lambda_{n_{j-1}+i}(M_N)$ が $\mu_{\sigma,\nu,c}$ の分位数に収束することを確立している。
• 証明技法は、BaiとSilverstein（2006）の結果に類似しているが、$A_N A_N^*$ と $M_N$ の両方におけるスペクトルギャップの正確な一致を示す点で拡張されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 もし $A_N A_N^*$ にスペクトルギャップが存在するならば、それに対応する $M_N$ の極限スペクトル測度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ に対してもギャップが生じるか？
• RQ2 $A_N$ が孤立した固有値を持つ場合、$M_N$ の極端な固有値は $\mu_{\sigma,\nu,c}$ の台に対して正確に局在化できるか？
• RQ3 極限において、$M_N$ の固有値は $\mu_{\sigma,\nu,c}$ のバルクからどの程度分離するか？ そして、その分離は $A_N A_N^*$ の構造をどのように反映するか？
• RQ4 スパikedモデルにおける外れ値の極限位置は、$A_N A_N^*$ のスペクトル分布 $\nu$ とどのように関係するか？

主な発見

• 正確な分離現象が確立された：$A_N A_N^*$ にスペクトルギャップが存在する場合、$M_N$ の固有値は、極限スペクトル測度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ の対応する区間を避ける。このギャップは極限においても保存される。
• 任意の $A_N A_N^*$ の孤立固有値 $\theta_j$ に対して、$M_N$ の $k_j$ 個の固有値が、$\alpha_j = \nu(]-\infty, \theta_j])$ に対応する $\mu_{\sigma,\nu,c}$ の分位数 $q_{\alpha_j}$ にほとんど確実に収束する。
• $\theta_j$ が $\text{supp}(\nu)$ の2つの連結成分の間にある場合、$M_N$ の $k_j$ 個の固有値は、その成分に対応する $\mu_{\sigma,\nu,c}$ の台における右端 $\Phi_{\sigma,\nu,c}(v_{l_j}^+)$ にほとんど確実に収束する。
• $M_N$ の極限固有値が、$\nu$ のスペクトル端点を関数 $\Phi_{\sigma,\nu,c}$ で写像した結果、$\mu_{\sigma,\nu,c}$ の端点にほとんど確実に収束することが示された。この関数 $\Phi_{\sigma,\nu,c}$ は、$\nu$ の端点を $\mu_{\sigma,\nu,c}$ の端点にマッピングする。
• $\mu_{M_N}$ が $\mu_{\sigma,\nu,c}$ に収束するため、任意の区間 $[q_{j}-\epsilon, q_{j}+\epsilon]$ における $M_N$ の固有値の数が、ほとんど確実にその区間における $\mu_{\sigma,\nu,c}$ の固有値の数に収束する。