[論文レビュー] Exact sequences for equivariantly formal spaces

Matthias Franz, Volker Puppe|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、有理数以外の係数環、特に整数や素体を含む一般の係数環に対して、等変形式的空間におけるAtiyah–Bredon完全系列を一般化する。これは、有理係数に限らないChang–Skjelbred補題の拡張である。固定点を持たない作用に対しても、最小軌道次元に基づく修正された系列を用いて、等変コホモロジーを計算可能にするために、固定点の有無にかかわらず、同調群の条件を弱めた条件下でAtiyah–Bredon系列の完全性を確立する。

ABSTRACT

Let T be a torus. We present an exact sequence relating the relative equivariant cohomologies of the skeletons of an equivariantly formal T-space. This sequence, which goes back to Atiyah and Bredon, generalizes the so-called Chang-Skjelbred lemma. As coefficients, we allow prime fields and subrings of the rationals, including the integers. We extend to the same coefficients a generalization of this "Atiyah-Bredon sequence" for actions without fixed points which has recently been obtained by Goertsches and Toeben.

研究の動機と目的

• 有理数以外の係数環、特に整数や素体を含む一般の係数環に対して、Atiyah–Bredon完全系列を拡張すること。
• 同調群に制約を課した整数係数へのChang–Skjelbred補題の一般化。
• GoertschesとTöbenの固定点を持たない作用に関する結果を、同じ係数環およびより広い空間のクラスにまで拡張すること。
• 一般化された係数を用いた等変コホモロジーにおけるAtiyahの定理のコホモロジー的バージョンを提供すること。
• 作用に固定点がない場合でも、Atiyah–Bredon系列が完全性を保つための条件を確立すること。

提案手法

• ℚの部分環または有限体𝔽pを係数とするAlexander–Spanierコホモロジーを用いる。
• Xiを次元≤iの軌道の和集合として定義し、X−1 = ∅およびX0 = XTとする。
• 整数係数およびmod p係数を取り扱うために、p-捩れ部分群に対するTp,iスケルトンを導入する。
• 対(Xi, Xi−1)および(Xi+1, Xi−1)に対する等変コホモロジーの長完全系列を適用する。
• 深さの議論とCohen–Macaulay加群論を用いて、系列の完全性を証明する。
• 正則性および深さ条件に注目し、Atiyahの元々の証明をコホモロジーおよび一般係数に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Atiyah–Bredon系列は、有理数以外の係数環、例えばℤや𝔽pに対しても一般化可能か？
• RQ2 固定点を持たない作用に対して、Atiyah–Bredon系列が完全性を保つための条件は何か？
• RQ3 同調群に制約を課した整数係数へのChang–Skjelbred補題の拡張は、どのように可能か？
• RQ4 固定点を持たない作用において、等変コホモロジーリングの次元と最小軌道次元の関係は何か？
• RQ5 H*T(X)がH*(BT)上でCohen–Macaulayであれば、Xに固定点がない場合に、Xkから始まる修正されたAtiyah–Bredon系列が完全になるか？

主な発見

• 係数環R ⊂ ℚまたはR = 𝔽pであり、Tp,iスケルトンに関する条件(2.3a)または(2.3b)を満たすとき、Atiyah–Bredon系列は完全である。
• 同調群に制約を課した整数係数版のChang–Skjelbred補題が、R = ℤに対して確立された。
• 固定点を持たない作用では、k-スケルトンから始める系列が完全性を保つ。ここでkは最小軌道次元である。
• H*T(X)の次元がd + n − kであることが示された。ここでdはH*(BT)のクルル次元、kは最小軌道次元である。
• H*T(X)がH*(BT)上でCohen–Macaulayであれば、Xkから始める修正されたAtiyah–Bredon系列は完全である。
• 証明は深さの議論に依拠しており、H*T(Xi, Xi−1)の深さが少なくともn−i以上であることに基づき、完全性に必要な正則性が保証される。