[論文レビュー] Exact sequences of fibrations of crossed complexes, homotopy classification of maps, and nonabelian extensions of groups

Ronald Brown|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、自由交叉複体から交叉複体の分類空間への写像のホモトピー的分類を、交叉複体のファイブレーションの完全系列を用いて確立する。これは、群の拡大および非アーベル拡大に対する古典的オブストラクション理論を一般化し、与えられた群準同型を交叉複体の準同型として実現できるための必要十分条件として、特定のコホロロジー群におけるオブストラクション類の消滅を示す。このとき、オブストラクションが消える場合、ホモトピー類の集合はそのコホロロジー群と一対一対応する。

ABSTRACT

The classifying space of a crossed complex generalises the construction of Eilenberg-Mac Lane spaces. We show how the theory of fibrations of crossed complexes allows the analysis of homotopy classes of maps from a free crossed complex to such a classifying space. This gives results on the homotopy classification of maps from a CW-complex to the classifying space of a crossed module and also, more generally, of a crossed complex whose homotopy groups vanish in dimensions between 1 and n. The results are analogous to those for the obstruction to an abstract kernel in group extension theory.

研究の動機と目的

• CW複体から交叉複体の分類空間への写像のホモトピー的分類フレームワークを構築すること。
• 交叉複体の言語を用いて、非アーベル群拡大および抽象的核に対する古典的オブストラクション理論を一般化すること。
• 与えられた群準同型を交叉複体の準同型として実現できるかどうかは、特定のコホロロジー群におけるコホモロジカルなオブストラクションによって制御されることを示すこと。
• n-アスpherical空間の分類と非アーベル拡大の理論を、共通のフレームワークとしての交叉複体およびファイブレーションによって統一すること。

提案手法

• 交叉複体の圏における閉じたモノイダル構造を用いて、指数対象およびホモトピー類を定義する。
• Howieが定義した交叉複体のファイブレーションの概念を適用し、ホモトピー群およびホモトピー類の完全系列を構成する。
• 交叉複体の分類空間を含むファイブレーション系列を構築し、写像複体上の誘導写像を用いてホモトピー類を分析する。
• フィルター付き空間の基本的交叉複体およびそのホモトピー的分類定理 [ΠX∗, C] ∼= [X, BC] を基盤的道具として用いる。
• 交叉複体におけるモデル圏構造を用いてホモトピー群およびファイブレーションを定義し、上げ問題や拡張問題の解析を可能にする。
• 相対ホイッブルツェの定理およびホモトピー加法補題を適用し、交叉複体の文脈におけるホモトピー群とホモロジーの関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、交叉複体のファイブレーションを用いて、CW複体から交叉複体の分類空間への写像のホモトピー的分類を分析できるか？
• RQ2 群準同型を交叉複体の準同型として実現するためのコホモロジカルなオブストラクションは何か？
• RQ3 交叉複体の理論は、n-アスpherical空間への写像の分類と非アーベル群拡大の理論をどのように統一するか？
• RQ4 交叉複体のファイブレーションの完全系列は、準同型の存在および分類をどのように制御するか？
• RQ5 標準的な自由交叉複体分解を、任意の自由分解に置き換えても、拡大類の計算に影響は生じないか？

主な発見

• オブストラクション類 kθ ∈ Hn+1θφ(F, A) が消えるための必要十分条件は、与えられた群準同型 θ : Φ → Q が F → C という交叉複体の準同型に引き上げられることである。
• オブストラクション類が消えるとき、θφ を実現する F → C という準同型のホモトピー類の集合は、アーベル群 Hnθφ(F, A) と一対一対応する。
• 群 Hnθφ(F, A) は、ホモトピー類 [F, C; θφ] の集合に自由かつ推移的に作用し、トロス構造を形成する。
• この理論は、群拡大および抽象的核に対する古典的オブストラクション理論を一般化し、統一的なフレームワークを提供する。
• 群 G の自由交叉複体分解の選択にかかわらず、この結果は成り立つ。有限または小さな分解が利用可能な場合（例：FP3の場合）に、それらを用いることができる。
• この構成は、ホモトピーファイブレーションのホワイトヘッドの完全系列と整合性があり、空間のホモトピー型とその基本的交叉複体との関係を結ぶ。