[論文レビュー] Exact sequences of tensor categories

Alain Bruguières, Sonia Natale|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 38被引用数 73

ひとこと要約

本稿では、群およびホップ代数論における完全系列の一般化として、テンソルカテゴリの完全系列を導入し、それらと正規で忠実なホップモノイドや可換中心的代数のような構造との間の同値関係を確立する。主な結果として、奇数の平方自由なフロベニウス＝ペルンの次元を持つブレッド・ファージョンカテゴリは、有限群の表現カテゴリとテンソル同倣であることが示される。

ABSTRACT

We introduce the notions of normal tensor functor and exact sequence of tensor categories. We show that exact sequences of tensor categories generalize strictly exact sequences of Hopf algebras as defined by Schneider, and in particular, exact sequences of (finite) groups. We classify exact sequences of tensor categories C' -> C -> C'' (such that C' is finite) in terms of normal faithful Hopf monads on C'' and also, in terms of self-trivializing commutative algebras in the center of C. More generally, we show that, given any dominant tensor functor C -> D admitting an exact (right or left) adjoint there exists a canonical commutative algebra A in the center of C such that F is tensor equivalent to the free module functor C -> mod_C A, where mod_C A denotes the category of A-modules in C endowed with a monoidal structure defined using the half-braiding of A. We re-interpret equivariantization under a finite group action on a tensor category and, in particular, the modularization construction, in terms of exact sequences, Hopf monads and commutative central algebras. As an application, we prove that a braided fusion category whose dimension is odd and square-free is equivalent, as a fusion category, to the representation category of a group.

研究の動機と目的

• 群およびホップ代数論における完全系列を、テンソルカテゴリのより広範な文脈へ一般化すること。
• 商カテゴリ上の代数的構造を用いて、ファージョンカテゴリの完全系列を分類すること。
• 完全系列、ホップモノイド、およびカテゴリカル中心における可換代数との構造的関係を確立すること。
• この枠組みを応用し、奇数の平方自由な次元を持つブレッド・ファージョンカテゴリが群の表現カテゴリと同倣であることを証明すること。
• モジュライ化と等置換化を完全系列として再解釈し、それらの構成を共通の枠組みで統一すること。

提案手法

• ドミナントで正規な関手を用い、核が元のカテゴリに同値であることで、テンソルカテゴリの完全系列を定義する。
• タンカカ双対性を用い、系列から生じるファイバー関手に対応するホップ代数を関連付ける。
• 完全系列と、ターゲットカテゴリ上の正規で忠実なホップモノイドの間の対応を確立する。
• 関手の右随伴を用いて、中間カテゴリの中心における標準的な可換代数を構成する。
• 理論を等置換化とモジュライ化に適用し、これらが完全系列の特別な場合として生じることを示す。
• コホモロジー的および次元論的議論（例：奇数性、平方自由性）を用いて、ブレッド・ファージョンカテゴリを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルカテゴリの完全系列は、群およびホップ代数論における完全系列を一般化する形で、どのように定義され、分類されるか？
• RQ2 ターゲットカテゴリ上のどのような代数的構造がテンソルカテゴリの完全系列を符号化するか？
• RQ3 奇数の平方自由な次元を持つブレッド・ファージョンカテゴリが群の表現カテゴリと同値となる条件は何か？
• RQ4 ホップモノイドと可換中心的代数は、完全系列の構造とどのように関係するか？
• RQ5 モジュライ化と等置換化は、テンソルカテゴリの完全系列として一様に記述可能か？

主な発見

• ファージョンカテゴリの完全系列は、乗法的フロベニウス＝ペルン次元を満たす：FPdim C = FPdim C′ × FPdim C′′。
• C が有限であるような完全系列 C′ → C → C′′ は、C′′ 上の正規で忠実なホップモノイドによって分類され、その誘導されるホップ代数は C′ とテンソル同値である。
• フロベニウス＝ペルン指数 2 のドミナントテンソル関手 F: C → C′′ は、常に正規であるため、Z₂ の表現カテゴリを核とする完全系列を生じる。
• C 上のブレッド・ファージョンカテゴリで、奇数の平方自由なフロベニウス＝ペルン次元を持つものは、モジュライゼーション可能であり、そのモジュライゼーションにはファイバー関手が存在する。
• 任意の奇数の平方自由な次元を持つブレッド・ファージョンカテゴリは、有限群の表現カテゴリとテンソル同値である。
• ドミナント関手 F: C → C′′ とその完全な右随伴を持つ場合、誘導される中心的代数 (A, σ) は、F が正規であることと、F が A 上の自由加群関手と同値であることの必要十分条件である。