[論文レビュー] Exact Simulation of One-dimensional Stochastic Differential Equations involving the local time at zero of the unknown process

Pierre Étoré, Miguel Martínez|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、原点における局所時刻を含む過程を扱えるように、1次元SDEにおける正確なシミュレーション手法を拡張する。Girsanov変換を用いて目的過程を局所時刻付きのスケュー・ブラウン運動と関連づけ、スケュー・ブラウン運動の橋の法則が解析的に扱えることを利用することで、SDEのダイナミクスに含まれる局所時刻項の課題を克服する。主な貢献は、離散化誤差のない軌道の正確なサンプリングを可能にするシミュレーションアルゴリズムの構築である。

ABSTRACT

In this article we extend the exact simulation methods of Beskos et al. to the solutions of one-dimensional stochastic differential equations involving the local time of the unknown process at point zero. In order to perform the method we compute the law of the skew Brownian motion with drift. The method presented in this article covers the case where the solution of the SDE with local time corresponds to a divergence form operator with a discontinuous coefficient at zero. Numerical examples are shown to illustrate the method and the performances are compared with more traditional discretization schemes.

研究の動機と目的

• 原点における局所時刻項を含む1次元SDEの正確なシミュレーション手法を開発すること。これは古典的手法ではカバーされない。
• 局所時刻成分のおかげで、このようなSDEがウィener測度に関して絶対連続でないという課題に対処すること。
• Beskosらの正確なシミュレーションフレームワークを、特に発散型形式の作用素に由来する不連続係数を持つ、原点でスケューされる過程へと拡張すること。
• 不連続なドリフトと原点における局所時刻を有する拡散過程のシミュレーションを可能にし、不連続な物質のモデリングに有効である。
• 将来的に複数のスケュー点や非有界ドリフトへの拡張の基盤を提供すること。

提案手法

• Girsanov変換を用いて、目的過程の確率測度をスケュー・ブラウン運動のドリフトに関して絶対連続に表現し、Radon-Nikodym導関数から局所時刻を除去する。
• スケュー・ブラウン運動のドリフトの既知の遷移密度を活用し、Girsanov変換における尤度比を計算する。
• Pitman-Yor (1991) が提示した時刻反転およびエクストリーム分解技術を応用し、スケュー・ブラウン運動のドリフトのブリッジ法則を特徴付ける。
• 最大値と初到達時刻の同時分布を用いて、ブリッジ路を独立な断片に分解し、正確な軌道再構築を可能にする。
• 最大値と到達時刻を条件付きにしたブリッジ路を、スケュー・ブラウン運動のドリフト下での初到達時刻の既知の分布を用いてシミュレートする。
• Girsanov測度変換と参照用のスケュー・ブラウン運動ブリッジの正確なシミュレーションを組み合わせることで、正確なシミュレーションアルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的手法の範囲外にある、原点における局所時刻項を含む1次元SDEに対し、正確なシミュレーションを拡張可能か？
• RQ2 Girsanov変換において、原点における局所時刻をどのように取り扱えば、参照測度が解析的に扱えるようになるか？
• RQ3 スケュー・ブラウン運動のドリフトのブリッジ法則は何か？ そして、それらを正確にシミュレートすることで、軌道再構築が可能か？
• RQ4 古典的SDEとは異なり、ドリフト関数の有界性仮定を緩和することは可能か？
• RQ5 スケュー係数β ≠ 0 が、不連続係数を持つ拡散過程のシミュレーションに与える影響は何か？

主な発見

• 原点における局所時刻付きSDEの解の確率測度は、スケュー・ブラウン運動のドリフトの測度に関して絶対連続であり、Girsanovに基づく正確なシミュレーションが可能である。
• スケュー・ブラウン運動のドリフトの遷移密度が明示的に導出され、Girsanov変換における尤度比の計算に用いられている。
• Pitman-Yor (1991) の結果に基づき、最大値と初到達時刻の同時分布を用いて、スケュー・ブラウン運動のドリフトのブリッジ法則が特徴づけられている。
• 時刻反転およびエクストリーム分解を用いて、ブリッジ路を独立な断片に分解でき、正確な軌道再構築が可能である。
• 数値例により、本手法の正確性と、Eulerスキームなどの標準的離散化手法に比べ優れた性能が確認された。
• 本手法は、原点で不連続係数を持つ発散型形式作用素に対応するSDEに適用可能であり、生態学的・地球物理学的・医療生物学的モデリングの分野で関連する。