[論文レビュー] Exact simulation of the sample paths of a diffusion with a finite entrance boundary

Paul A. Jenkins|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限入口境界を有する拡散過程の正確なシミュレーションアルゴリズムを、提案候補にブラウン運動の代わりにBessel過程を用いることで拡張する。境界挙動をより良く再現することで、特に人口増加モデルやBessel型拡散過程において、従来のブラウン運動ベースの手法に比べて棄却率を著しく低減し、大幅な効率向上を達成する。

ABSTRACT

Diffusion processes arise in many fields, and so simulating the path of a diffusion is an important problem. It is usually necessary to make some sort of approximation via model-discretization, but a recently introduced class of algorithms, known as the exact algorithm and based on retrospective rejection sampling ideas, obviate the need for such discretization. In this paper I extend the exact algorithm to apply to a class of diffusions with a finite entrance boundary. The key innovation is that for these models the Bessel process is a more suitable candidate process than the more usually chosen Brownian motion. The algorithm is illustrated by an application to a general diffusion model of population growth, where it simulates paths efficiently, while previous algorithms are impracticable.

研究の動機と目的

• 標準的なブラウン運動ベースの手法が高い棄却率を示す、有限入口境界を有する1次元拡散過程の正確なシミュレーションアルゴリズムの開発。
• ターゲット拡散の境界挙動をより良く再現するBessel過程を候補過程として採用することで、アルゴリズムの効率を向上させること。
• 条件付き拡散や入口境界を有する一般の人口増加モデルを含む、より広いクラスの拡散過程への正確なアルゴリズムフレームワークの拡張。
• Bessel過程を用いた、最大値およびブリッジ路の既知の分布を活用した、取り扱い可能な棄却サンプリング機構の提供。
• 本手法を2つの有限境界および入口境界以外の境界タイプへ一般化する可能性の探求。

提案手法

• Beskosら（2006）のレトロスペクティブ棄却サンプリングフレームワークを、標準的なブラウン運動の代わりに適切な次数のBessel過程を用いることで適応する。
• 元の拡散過程を単位拡散係数過程に変換するためのLamperti変換を用い、ブリッジベースのサンプリング技法の適用を可能にする。
• Besselブリッジの既知の分布的性質（特に最大値の分布およびその達成時刻）を活用して、受容確率を計算する。
• Bessel過程を基準測度として用いることで、離散化を伴わずに正確なサンプリングを保証する、受容-棄却機構のRadon-Nikodým微分を導出する。
• 境界挙動および経路制約を考慮した一般化された受容確率の公式を導入し、Besselブリッジ極値の既知の級数形による明示的計算を実施する。
• 一般人口増加モデルおよびワイドセンスBessel過程に本アルゴリズムを適用し、従来のブラウン運動ベースの代替手法に比べて実用的な効率向上を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動ベースの提案が境界付近での経路マッチングが不十分であるため失敗する有限入口境界を有する拡散過程に対して、正確なシミュレーションアルゴリズムを拡張可能か？
• RQ2 ブラウン運動の代わりにBessel過程を候補過程として用いることで、このような拡散過程における棄却率を著しく低減できるか？
• RQ3 Bessel過程が正確なシミュレーションフレームワークにおいて有効かつ効率的な提案として成立する数学的および計算的条件は何か？
• RQ4 本手法を2つの有限入口境界を有する拡散過程に一般化可能か？また、既存の手法と比較してどうなるか？
• RQ5 反射境界や出口境界などの他の境界タイプへの拡張における理論的および実用的限界は何か？

主な発見

• 特に原点近傍で (2ν+1)/(2x) の形の特異性を示す漂移を有する拡散過程に対して、Bessel過程はブラウン運動に比べて著しく効率の高い提案となる。
• Besselブリッジの最大値の既知の分布を活用することで、離散化を伴わず正確なサンプリングが可能となり、受容確率の効率的計算が可能となる。
• 人口増加モデルにおいて、本手法は、高い棄却率により実用的でなかった従来のアルゴリズムに比べ、著しい効率向上を示す。
• 本手法は、ワイドセンスBessel過程や条件付き拡散過程を含む広範なクラスの拡散過程に適用可能であり、境界挙動がBessel過程と一致する場合に有効である。
• 2つの有限境界への理論的拡張は、候補としてブラウン運動を用いることで実現され、フレームワークの入口境界を超えた柔軟性が示された。
• 今後の課題として、境界条件仮定(B*)の緩和によるより一般的な漂移行動の許容、および他の非ブラウン候補過程を用いた正確なシミュレーションの探求が挙げられる。