[論文レビュー] Exact solitary wave solutions of the nonlinear Schrödinger equation with a source

Thokala Soloman Raju, C.N. Kumar+1 more|ArXiv.org|Aug 8, 2003

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、分数変換を用いて楕円関数に解を写像することにより、位相ロックされた外部源を伴う非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）に対して、正確な有理型タイプの孤立波解を提示する。この手法により、明るい、暗い、特異的孤立波が得られ、さらに周期的三角関数的および双曲的解も得られる。非摂動的かつ正確な解が、引力的および反発的両ケースに対して得られ、数値的に安定性が確認された。

ABSTRACT

We use a fractional transformation to connect the traveling wave solutions of the nonlinear Schrödinger equation (NLSE), phase-locked with a source, to the elliptic functions satisfying, $f^{\prime\prime}\pm af\pm λf^{3}=0$. The solutions are {\it necessarily} of the rational form, containing both trigonometric and hyperbolic types as special cases. Bright, and dark solitons, respectively, for attractive and repuslive type of nonlinearities, as also singular solitons, are obtained in suitable range of parameter values.

研究の動機と目的

• 位相ロックされた外部源を伴う外部駆動非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）の正確な移動波解を導出すること。
• 摂動法および数値的手法による広範な研究にもかかわらず、NLSEにソースが存在する場合の正確な解が不足しているという問題に取り組むこと。
• 分数変換を用いて、NLSEにソースが存在する場合と楕円関数との間の体系的マッピングを確立すること。
• パrameter領域およびモジュラスパラメータに基づいて、明るい、暗い、特異的孤立波の種類を分類・特徴付けること。
• 一般の外部駆動NLSE系の研究のための改善された初期条件として、非摂動的かつ正確な解を提供すること。

提案手法

• 解を楕円関数に写像するための分数変換 $\rho(\xi) = \frac{A + B f^\delta(\xi,m)}{1 + D f^\delta(\xi,m)}$ を用い、ソース付きNLSEの解を楕円関数に変換する。
• この変換により、NLSEにソースが存在する場合が非線形常微分方程式 $\rho'' + \rho^3 - \rho - k = 0$ に還元され、さらに楕円方程式 $f'' = f - f^3$ と関連づけられる。
• 移動波解 $\psi(x,t) = e^{i[\chi(\xi) - \omega t]} \rho(\xi)$ を仮定し、$\xi = \alpha(x - vt)$ とし、ソースとの位相ロックを強制する。
• 解の分岐を区別するために、保存エネルギー $E_0 = f'^2/2 + (1/4)f^4 - f^2/2$ を用いる。
• 三角関数的（$m=0$）、双曲的（$m=1$）、一般のクノイド的（$0 < m < 1$）の各場合について解を導出し、パラメータ $A$, $B$, $D$, $\epsilon$, $k$, $g$ に制約を課す。
• Crank-Nicholson有限差分法を用いた数値シミュレーションにより、三角関数的解の安定性が確認され、解析的結果の妥当性が裏付けられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相ロックされた外部源によって駆動される非線形シュレーディンガー方程式に対して、正確な孤立波解を導出できるか？
• RQ2 NLSEにソースが存在する場合に、明るい、暗い、特異的孤立波がどのようなパラメータ条件で出現するか？
• RQ3 分数変換がNLSEにソースが存在する場合をどのように楕円関数の解に写像するか？この写像に伴って生じる制約は何か？
• RQ4 保存エネルギー $E_0$ は、$E_0 = 0$ と $E_0 \neq 0$ の場合の解の形を決定づける役割を果たすのか？
• RQ5 導出された正確な解は時間発展に対して安定であるか？また、数値的解析のための頑健な初期条件として利用可能か？

主な発見

• 分数変換により、NLSEにソースが存在する場合が楕円関数に写像され、分子および分母が楕円関数の二次式である正確な有理型タイプの解が得られる。
• $E_0 \neq 0$ の場合、$A=0$, $B \neq 0$ が許容され、例として $\rho(\xi) = \frac{(k/4E_0)f^2}{1 + (1/8E_0)f^2}$ が得られるが、$A \neq 0$, $B=0$ は禁止される。
• $E_0 = 0$ の場合、$\rho(\xi) = \frac{2k}{1 - f^2}$ のような特異的解が存在し、$B \neq 0$, $A \neq 0$ の場合に非特異的解が可能であるが、$A=0$, $B \neq 0$ は許可されない。
• $m=0$ の極限では、三角関数的解が得られ、例として $\rho(\xi) = \left(-\frac{2k}{\epsilon}\right)\frac{\cos^2(\xi)}{1 - \frac{2}{3}\cos^2(\xi)}$ が得られ、これは数値的に安定である。
• $m=1$ の場合、双曲的解が得られ、特異的形として $\rho(\xi) = \left(\frac{3k}{\epsilon}\right)\frac{1}{1 - \frac{3}{2}\text{sech}^2(\xi)}$ が得られ、$\alpha^2 = \epsilon/4$ のとき有効である。
• $0 < m < 1$ の場合、一般のクノイド的解が得られ、例として $m=5/8$ のとき $\rho(\xi) = \left(\frac{14k}{3\epsilon}\right)\frac{\text{cn}^2(\xi,m)}{1 + \text{cn}^2(\xi,m)}$ が得られ、$\epsilon = 7(-gk^2/18)^{1/3}$ である。