[論文レビュー] Exact solution for the Lindbladian dynamics for the open XX spin chain with boundary dissipation

Kohei Yamanaka, Tomohiro Sasamoto|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2021

Quantum many-body systems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、境界散逸を伴うオープンXXスピン鎖における磁化およびスピン電流の時間発展について、第三量子化法を用いて正確な解析的解を提示する。リンドブラッド力学を非エルミート的 $N\times N$ 行列の対角化に写像することで、境界効果の光円錐伝播に起因する短時間におけるプラトー領域と、Liouvillianギャップに支配される長時間における $O(N^{-3})$ の減衰が、解析的に明らかになる。係数は完全に解析的に決定されている。

ABSTRACT

We obtain exact formulas for the time-dependence of a few physical observables for the open XX spin chain with Lindbladian dynamics. Our analysis is based on the fact that the Lindblad equation for an arbitrary open quadratic system of $N$ fermions is explicitly solved in terms of diagonalization of a $4N imes4N$ matrix called structure matrix by following the scheme of the third quantization. We mainly focus on the time-dependence of magnetization and spin current. As a short-time behavior at a given site, we observe the plateau regime except near the center of the chain. Basic features of this are explained by the light-cone structure created by propagations of boundary effects from the initial time, but we can explain their more detailed properties analytically using our exact formulas. On the other hand, after the plateau regime, the magnetization and spin current exhibit a slow decay to the steady state values described by the Liouvillian gap. We analytically establish its $O(N^{-3})$ scaling and also determine its coefficient.

研究の動機と目的

• オープン量子スピン鎖におけるリンドブラッド力学下での物理的観測量の正確な時間依存式を導出すること。
• 特に境界起因の光円錐効果に起因するプラトー領域の出現を含む短時間ダイナミクスを分析すること。
• ステディ状態への長時間減衰行動を解析的に特定することに焦点を当て、Liouvillianギャップのスケーリングを明らかにすること。
• 非エルミート的構造行列を有する二次的オープンフェルミオン系に第三量子化法を適用可能であることを示すこと。
• ベッセル関数の展開と鞍点近似を用いて、磁化およびスピン電流の明示的な解析的表現を提供すること。

提案手法

• ジョルダン＝ヴァイフェル変換を用いて、オープンXXスピン鎖のリンドブラッド方程式を二次的フェルミオン系に写像する。
• 第三量子化法により、問題を $4N\times 4N$ の構造行列の対角化に還元し、さらに $N\times N$ の非エルミート行列に簡略化する。
• Liouvillian-Fock空間における contour 積分と生成関数を用いて、磁化およびスピン電流の正確な時間依存式を導出する。
• 鞍点近似を用いた漸近的解析により、特に $O(N^{-3})$ 減衰スケーリングを理解する。
• ベッセル関数表現を用いて時間発展演算子を表現し、解析的および数値的評価を可能にする。
• 境界局在モードの寄与を考慮し、研究対象の観測量に与える影響が無視可能であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界散逸を伴うオープンXXスピン鎖における磁化およびスピン電流の正確な時間発展は何か？
• RQ2 境界効果は鎖内にどのように伝播するのか？ また、短時間ダイナミクスにおける観察されたプラトー領域はどのような原因によるのか？
• RQ3 Liouvillianギャップの解析的形は何か？ また、系サイズ $N$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 第三量子化法は、オープン二次的フェルミオン系において、正確な時間依存観測量を導出するのに有効に適用可能か？
• RQ5 局在化した境界モードは、磁化や電流などのバルク観測量のダイナミクスにどのような役割を果たすか？

主な発見

• 短時間ダイナミクスにおいて、鎖の中心付近を除き、磁化およびスピン電流にプラトー領域が観測される。これは境界効果の光円錐伝播に起因する。
• プラトー領域は、 contour 積分とベッセル関数展開から導出された正確な式を用いて解析的に説明できる。
• プラトー領域の後、磁化およびスピン電流はゆっくりとステディ状態へと減衰し、その減衰率は $O(N^{-3})$ スケーリングに従う。
• $O(N^{-3})$ スケーリングの係数は解析的に決定され、Liouvillianスペクトルの漸近的解析により確認されている。
• 長時間行動はLiouvillianギャップに支配され、これは $O(N^{-3})$ にスケーリングし、非エルミート行列の構造から明確に導出された正確な係数を有する。
• この手法により、$4N\times 4N$ のリンドブラッド問題が $N\times N$ の非エルミート行列に簡略化され、物理的観測量の正確な解析的解が得られた。