[論文レビュー] Exact Solutions of General Relativity and Quadratic Gravity in Arbitrary Dimension

Tomáš Málek|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 99被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、一般相対性理論および2次曲率重力における高次元解を、一般化されたカー＝シルト（xKS）計量とブリンクマンのワープ積を用いて提示する。高次元におけるウェーラー・テンソルの代数的分類を確立し、2次重力における真空中解の条件を導出し、場の運動方程式を満たすのは、有効な宇宙定数を伴う特定のウェーラー型（N、III(B)）に限られることを同定した。また、光線放射項が存在する場合に限り、一貫性を持つのはクラス・クンドト幾何構造であることが示された。

ABSTRACT

In the first part of this thesis, Kerr-Schild metrics and extended Kerr-Schild metrics are analyzed in the context of higher dimensional general relativity. Employing the higher dimensional generalizations of the Newman-Penrose formalism and the algebraic classification of spacetimes based on the existence and multiplicity of Weyl aligned null directions, we establish various geometrical properties of the Kerr-Schild congruences, determine compatible Weyl types and in the expanding case discuss the presence of curvature singularities. We also present known exact solutions admitting these Kerr-Schild forms and construct some new ones using the Brinkmann warp product. In the second part, the influence of quantum corrections consisting of quadratic curvature invariants on the Einstein-Hilbert action is considered and exact vacuum solutions of these quadratic gravities are studied in arbitrary dimension. We investigate classes of Einstein spacetimes and spacetimes with a null radiation term in the Ricci tensor satisfying the vacuum field equations of quadratic gravity and provide examples of these metrics.

研究の動機と目的

• 高次元時空へのカー＝シルト形式の拡張を行い、その幾何学的および代数的性質を分析すること。
• ニューマン＝ペンローズ形式およびウェーラー・テンソルの代数的分類を任意次元に一般化し、曲率構造を研究すること。
• 2次曲率不変量がアインシュタイン＝ヒルベルト作用に与える影響を調査し、2次重力における正確な真空中解を導出すること。
• どのアインシュタイン時空および光線放射を伴う時空が、任意次元における2次重力の場の運動方程式を満たすかを同定すること。
• ブリンクマンのワープ積を用いて新しい正確解を構成し、2次重力の制約と整合性があるかを検証すること。

提案手法

• ニューマン＝ペンローズ形式の高次元一般化を用いて、カー＝シルト時空における光線束およびウェーラー・テンソルの代数的型を分析する。
• ウェーラー整合化された光線方向（WANDs）に基づく代数的分類を用い、高次元における整合可能なウェーラー・テンソル型を同定する。
• 既知の4次元解から新しい正確解を生成するために、ブリンクマンのワープ積構成を適用する。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用にガウス＝ボナ・不変量および他の2次曲率不変量を加えることで、2次重力の場の運動方程式を導出する。
• 光学的制約を課し、ウェーラー・テンソルのr依存性を分析して、拡張するxKS時空における曲率特異点を検出する。
• 整合化された光線放射を伴うリッチテンソルを用いて解を分類し、2次重力と整合するための制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの高次元時空が一般化されたカー＝シルト形式をとることができ、その幾何学的および代数的性質は何か？
• RQ2 高次元におけるウェーラー・テンソルの代数的型は、カー＝シルトおよび拡張カー＝シルト時空の構造にどのような制約を与えるか？
• RQ3 高次元におけるアインシュタイン時空が、2次重力の真空中運動方程式を満たす条件は何か？
• RQ4 リッチテンソルにおける光線放射項が、2次重力における解のクラスを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ブリンクマンのワープ積構成は、2次重力の場の運動方程式と整合する新しい正確解を生成できるか？

主な発見

• 2次重力の真空中運動方程式を満たすのは、B=0により決定される有効な宇宙定数Λを伴う、ウェーラー型NまたはIII(B)のアインシュタイン時空に限られる。
• タイプIII(A)のアインシュタイン時空、特にリッチ平坦なpp波を含むものも、光線放射項が存在しない限り2次重力の運動方程式を満たさない。
• リッチテンソルに整合化された光線放射を伴う時空は、2次重力の解であるためにはクラス・クンドトに属している必要があり、有効な宇宙定数を決定する制約B=0が成立する必要がある。
• 5次元の最小ゲージ付きスーパーグラビティにおける電荷を帯びた回転CCLPブラックホールはウェーラー型I_iに属するが、電荷のないマイヤーズ＝ペリー・ブラックホールは一般化されたカー＝シルト形式に還元され、型Dに属する。
• Λ=0およびΛ≠0の場合の2次重力の明示的解が構成され、臨界でない場合に、光線放射項Φと真空中カー＝シルト関数H_vacの式が分離可能であることが示された。
• リッチテンソルに光線放射を伴うタイプIII(A)の解は、アインシュタイン理論の対応物とは異なり、2次重力では存在しうることを示し、解空間の非自明な拡張が示された。