[論文レビュー] Exact solutions of infinite dimensional total-variation regularized problems

Axel Flinth, Pierre Weiss|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 37被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、無限次元バナッハ空間における全 variation 正則化逆問題が、測定回数 m に等しい m-スパース解を常に有することを確立し、離散化を伴わずに1つまたは2つの有限次元凸計画問題を用いて正確な解を計算する手法を提供する。主な結果は、測定演算子にやや弱い仮定を課せば、解が高々 m 個の点にのみ台を持つ原子測度であるということである。

ABSTRACT

We study the solutions of infinite dimensional linear inverse problems over Banach spaces. The regularizer is defined as the total variation of a linear mapping of the function to recover, while the data fitting term is a near arbitrary convex function. The first contribution is about the solu-tion's structure: we show that under suitable assumptions, there always exist an m-sparse solution, where m is the number of linear measurements of the signal. Our second contribution is about the computation of the solution. While most existing works first discretize the problem, we show that exacts solutions of the infinite dimensional problem can be obtained by solving two consecutive finite dimensional convex programs. These results extend recent advances in the understanding of total-variation reg-ularized problems.

研究の動機と目的

• バナッハ空間上での無限次元全 variation 正則化逆問題の解の構造を同定すること。
• 元の無限次元問題を離散化せずに正確な解を計算するための非離散化ベースの数値的手法を開発すること。
• 超解像や一般化スプラインに関する既存の結果を、より広いクラスの線形作用素および定義域へと拡張すること。
• 解が m-スパース（高々 m 個の点にのみ台を持つ）であるための条件を確立すること。
• 従来の制限的な設定（例えば R^d 上の定常作用素）を超えて適用可能な構成的証明技法を提供すること。

提案手法

• バナッハ空間における双対性および作用素論を用いた解構造の理論的分析。
• 随伴測定関数の像に基づく構成的アプローチにより、m-スパース解の存在を証明する。
• 無限次元問題を有限次元凸計画問題に還元する双対問題の定式化の導出。
• 離散化なしに正確な解の回復を可能にする測定関数（例：三角多項式、区分的線形関数）の条件の特定。
• Moore-Penrose逆作用素および射影作用素を用いて解空間およびその台を特徴付ける。
• 解析的および合成的定式化の両方への理論の適用；合成的ケースは解析的問題の特殊な場合である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元全 variation 正則化逆問題に対して、どのような条件下で m-スパース解が存在するか？
• RQ2 元の無限次元問題を離散化せずに正確な解を計算できるか？
• RQ3 測定関数の構造（例：三角多項式、区分的線形関数）は、問題の可解性にどのように影響するか？
• RQ4 解の構造は、従来の定常作用素や有界領域に関する結果をどれほど一般化できるか？
• RQ5 線形作用素 L は、解のスパarsity および台の決定において果たす役割は何か？

主な発見

• 線形作用素 L およびデータ適合項にやや弱い仮定を課せば、測定回数 m に等しい m-スパース解が常に存在する。
• 解の構造は、Lû が高々 m 個の点にのみ台を持つ原子測度であるという点に特徴づけられる。
• 測定関数の構造に応じて、1つまたは2つの連続する有限次元凸計画問題を解くことで、無限次元問題の正確な解が計算可能である。
• 離散化を回避するため、グリッド依存の収束性や数値アーチファクトといった問題を回避できる。
• 本手法は、BV 空間上の微分作用素やより一般的な線形写像を含む広範な作用素クラスに適用可能である。
• 証明技法は構成的であり、一般化スプラインや超解像に関する先行研究を、より一般的な定義域および作用素へと拡張する。