[論文レビュー] Exact solutions of multicomponent nonlinear Schrödinger equations under general plane-wave boundary conditions

Takayuki Tsuchida|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 86被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、異なる成分が異なる波数および周波数を持つ平面波に漸近する一般の非消滅境界条件下で、可積分な非線形シュレーディンガー方程式の正確な多成分ソリトン解を構成する新規な手法を提示する。Bäcklund–Darboux変換を適用し、Lax対における非対角行列の再パラメータ化を導入することで、行列指数関数の明示的・閉形式の表現が得られ、内部自由度を有するブリリアントソリトンおよびダークソリトンの構成が可能になる。これは、カーダーノの公式に依存する従来の手法とは対照的に、より明示的かつ計算的に取り扱いやすい代替手法を提供する。

ABSTRACT

We construct exact soliton solutions of integrable multicomponent nonlinear Schrödinger (NLS) equations under general nonvanishing boundary conditions. Different components of the vector (or matrix) dependent variable can approach plane waves with different wavenumbers and frequencies at spatial infinity. We apply Bäcklund-Darboux transformations to the cubic NLS equations with a self-focusing nonlinearity, a self-defocusing nonlinearity or a mixed focusing-defocusing nonlinearity. Both bright-soliton solutions and dark-soliton solutions are obtained, depending on the signs of the nonlinear terms and the type of Bäcklund-Darboux transformation. The multicomponent solitons generally possess internal degrees of freedom and provide highly nontrivial generalizations of the scalar NLS solitons. The main step in the construction of the multicomponent solitons is to compute the matrix exponential of a constant non-diagonal matrix arising from the Lax pair. With a suitable re-parametrization of the non-diagonal matrix, the matrix exponential can be computed explicitly in closed form for the most interesting cases such as the two-component vector NLS equation. In particular, we do not resort to Cardano's formula in diagonalizing a $3 imes 3$ matrix, so our expressions for the multicomponent solitons are in some sense more explicit and useful than those obtained in [Q-H. Park and H. J. Shin, Phys. Rev. E 61 (2000) 3093].

研究の動機と目的

• 異なる成分が異なる波数および周波数を持つ平面波に漸近する一般の非消滅境界条件下で、多成分非線形シュレーディンガー方程式の正確なソリトン解を構成すること。
• 非退化状態における逆散乱法の限界を克服すること、特に成分間で背景平面波が異なる場合に有効であるようにすること。
• Lax対から生じる行列指数関数を、対角化やカーダーノの公式による立方根の計算を避けて、より明示的かつ計算的に取り扱いやすい形で計算する方法を開発すること。
• 内部自由度を有するブリリアントソリトンおよびダークソリトン解を導出し、スカラーNLSソリトンを非自明に一般化すること。
• Bäcklund–Darboux変換を用いた1ソリトン解の構成の体系的枠組みを提供し、マルチソリトン解への応用を想定すること。

提案手法

• 多成分NLS方程式のシード解から新たな解を生成するために、基本的および二重のBäcklund–Darboux変換を適用する。
• Lax対表現およびMiura写像を用いて、非線形方程式を線形固有値問題に関連付ける。
• Lax対から得られる定数の非対角行列の行列指数関数の計算を実行する。これはソリトン解の構成において中心的な役割を果たす。
• 変換パラメータの新しい再パラメータ化を導入し、対角化やカーダーノの公式を用いずに行列指数関数を閉形式で表現する。
• 再パラメータ化された行列指数関数を用いて、2成分ベクトルNLS方程式の線形系を明示的に解き、ソリトン解を導出する。
• 二重Bäcklund–Darboux変換の重合極限を用いて、内部自由度を有するベクトルダークソリトンを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる成分が空間無限遠で異なる波数および周波数を持つ平面波に漸近する場合、多成分NLS方程式に対して正確なソリトン解をどのように構成できるか？
• RQ2 逆散乱法が失敗する状況下、特に成分間で背景平面波が異なる場合に、Bäcklund–Darboux変換がソリトン解の生成に果たす役割は何か？
• RQ3 Lax対から生じる行列指数関数は、行列の対角化やカーダーノの公式による立方根の計算を避けて、明示的に計算可能か？
• RQ4 内部自由度を有する多成分ソリトンの構造的および動的性質は何か？また、それらはスカラーNLSソリトンをどのように一般化するか？
• RQ5 変換パラメータの再パラメータ化は、得られるソリトン解の形および取り扱いやすさにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿では、Lax対に現れる定数の非対角行列の行列指数関数について、カーダーノの公式を用いずに明示的・閉形式の表現を導出する。これにより、より取り扱いやすいソリトン解の構成が可能になる。
• 本手法は、異なる波数および周波数を持つ平面波境界条件下でも、ブリリアントソリトンおよびダークソリトン解を正確に構成できることを示している。
• 二重Bäcklund–Darboux変換の重合極限を用いることで、内部自由度を有するベクトルダークソリトンが得られ、非自明なソリトンダイナミクスを捉える上で不可欠である。
• 変換パラメータの再パラメータ化により、特に2成分系において、従来の手法よりも明示的かつ有用な表現が得られる。
• 本手法は、スカラーNLSソリトンを非自明な内部自由度（例えば、ソリトンと背景平面波の間のベーティング効果を含む）を有する多成分系に一般化する。
• Bäcklund–Darboux変換の反復的適用によりマルチソリトン解への応用が可能であるが、明示的表現は実用上複雑すぎる。