[論文レビュー] Exact Solutions of the Isothermal Lane--Emden Equation with Rotation and Implications for the Formation of Planets and Satellites

Dimitris M. Christodoulou, Demosthenes Kazanas|ArXiv.org|Jun 21, 2007

Thermodynamic properties of mixtures参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、回転を含む・含まない両方の状況において、等温Lane–Emden方程式の正確な解析的解を導出し、原始惑星系円盤内の密度分布が境界条件によって振動的構造を示すことを明らかにした。これらの振動は、太陽系の惑星の半長径と驚くほどよく一致する密度ピークを形成し、Titius–Bodeの法則に依存せずに、惑星の軌道間隔の数学的に厳密な説明を提供する（平均相対誤差 ≈ 4%）。

ABSTRACT

We have derived exact solutions of the isothermal Lane--Emden equation with and without rotation in a cylindrical geometry. The corresponding hydrostatic equilibria are most relevant to the dynamics of the protosolar nebula before and during the stages of planet and satellite formation. The nonrotating solution for the mass density is analytic, nonsingular, monotonically decreasing with radius, and it satisfies easily the usual physical boundary conditions at the center. When differential rotation is added to the Lane--Emden equation, an entire class of exact solutions for the mass density appears. We have determined all of these solutions analytically as well. Within this class, solutions that are power laws or combinations of power laws are not capable of satisfying the associated boundary--value problem, but they are nonetheless of profound importance because they constitute "baselines" to which the actual solutions approach when the central boundary conditions are imposed. Numerical integrations that enforce such physical boundary conditions show that the actual radial equilibrium density profiles emerge from the center close to the nonrotating solution, but once they cross below the corresponding baselines, they cease to be monotonic. The actual solutions are forced to oscillate permanently about the baseline solutions without ever settling onto them because the central boundary conditions strictly prohibit such settling, even in the asymptotic regime of large radii. Based on our results, we expect that quasistatically--evolving protoplanetary disks should develop oscillatory density profiles in their midplanes during their isothermal phase. The peaks in these profiles correspond to local potential minima and their locations are ideal sites for the formation of protoplanets ...

研究の動機と目的

• 原始星および原始惑星系円盤に適用可能な、回転を含む・含まない円柱座標系における等温Lane–Emden方程式の正確な解析的解を導出すること。
• 恒星系の惑星軌道間隔の長年の未解決問題を、静水的平衡および境界条件に基づく物理的メカニズムとして解明すること。
• 境界値問題から生じる振動的密度分布が、実際に観測された惑星軌道と一致する半径に原始惑星形成の場所を自然に生成することを示すこと。
• Weidenschilling (1977) が提示した R−2.5 の径方向密度プロファイルを実証的データとして用い、本モデルの予測力が太陽系および太陽系外系円盤の両方で有効であることを検証すること。
• Titius–Bodeの法則のような任意の法則に代わる、物理的制約のもとでの非恣意的かつ物理的に根拠のある、惑星系の秩序の説明を提供すること。

提案手法

• 円柱座標系における非回転等温Lane–Emden方程式の正確な解析的解の導出により、特異性のない単調に減少する密度プロファイルが得られる。
• Lane–Emden方程式に微分回転を組み込み、べき乗則ベースラインを特徴とする新しいクラスの正確な解が得られる。
• 中心境界条件を満たさないが、漸近的基準として用いられるベースライン解（べき乗則またはべき乗則の組み合わせ）の特定。
• 物理的中心境界条件を数値統合により強制し、実際の解がベースライン解に収束せず、常にそれらの周囲を振動することを示した。
• Weidenschilling (1977) の結果に一致する、径方向密度プロファイル ∝ R−2.5（表面密度 ∝ R−1.5）を用いて、太陽ネビュラへの適用。
• モデルが予測する密度ピークと、太陽系の惑星および矮星惑星の観測された半長径を比較し、精度を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円柱座標系における微分回転を含む等温Lane–Emden方程式に対して、正確な解析的解を導出できるか？
• RQ2 中心における物理的境界条件は、回転を伴う自己重力系円盤の径方向密度プロファイルにどのように影響を与えるか？
• RQ3 境界値問題から生じる振動的密度プロファイルは、自然に太陽系の惑星の半長径と一致する位置を生成するか？
• RQ4 太陽系の惑星軌道間隔の秩序は、静水的平衡と回転の結果であるが、統計的偶然や経験則であると見なされるべきではないか？
• RQ5 本モデルは、55 Cancri や HD 37124 のような、整然とした近似整数比の軌道間隔を示す他の太陽系外惑星系の軌道的構造を説明できるか？

主な発見

• 回転を含む等温Lane–Emden方程式に対して正確な解が存在し、物理的境界条件のもとで振動的挙動を示す新しいクラスの解が解析的に導出された。
• 原始惑星系円盤における実際の径方向密度プロファイルは、厳密な中心境界条件のため、常にベースラインのべき乗則解の周囲を永久に振動し、それらに収束しない。
• 本モデルは、太陽系のすべての主要惑星および矮星惑星の半長径と、平均相対誤差約4%で一致する密度ピークを予測する。
• 0.8 AU から 11.3 AU の範囲における平均密度プロファイルの径方向依存性は、R−2.5（表面密度 ∝ R−1.5）に従わなければならない。このプロファイルは Weidenschiller (1977) が経験的に決定したものと一致し、この精度を達成するための条件である。
• 0.1 AU から 0.3 AU の間の凝縮物濃度に内側のギャップが予測され、この領域で近赤外放射が低いことが観測される原始星の観測結果と整合する。
• 本モデルの予測は、55 Cancri および HD 37124 の2つの太陽系外惑星系の軌道間隔ともよく一致しており、連続する半長径の比がそれぞれ約3および2であり、太陽系と同様の特徴を示す。