[論文レビュー] Exact solutions of the Wheeler-DeWitt equation with ordering term in a dark energy scenario

C. R. Muniz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、順序パラメータ q を用いたフレリーマン＝ロバートソン＝ウォーカー宇宙論におけるホイーラー＝デウィット方程式の正確な解析解を提示し、偽陽子的ダークエネルギー（ω < −1）および宇宙定数（ω = −1）の量子宇宙論を検討する。q = 0 の場合、宇宙は有限で特異的でないスケール因子から始まるが、q = 1 の場合、ビッグバン起源を支持する。両者とも、偽陽子的エネルギー下で有限時間のビッグリップを予測しており、ハミルトニアン＝ジャコビ力学によって確認されている。

ABSTRACT

We investigate the quantum evolution of the universe in the presence of two types of dark energies. First, we consider the phantom class ($\omega<-1$) which would be responsible for a super-accelerated cosmic expansion, and then we apply the procedure to an ordinary $\Lambda>0$ vacuum ($\omega=-1$). This is done by analytically solving the Wheeler-DeWitt equation with ordering term (WdW) in the cosmology of Friedmann-Robertson-Walker. In this paper, we find exact solutions in the scale factor $a$ and the ordering parameter $q$. For $q=1$ it is shown that the universe has a high probability of evolving from a big bang singularity. On the other hand, for $q = 0$ the solution indicates that an initial singularity is unlikely. Instead, the universe has maximal probability of starting with a finite well-defined size which we compute explicitly at primordial times. We also study the time evolution of the scale factor by means of the Hamilton-Jacobi equation and show that an ultimate big rip singularity emerges explicitly from our solutions. The phantom scenario thus predicts a dramatic end in which the universe would reach an infinite scale factor in a finite cosmological time as pointed by Caldwell et al. in a classical setup. Finally, we solve the WdW equation with ordinary constant dark energy and show that in this case the universe does not rip apart in a finite era.

研究の動機と目的

• 偽陽子的ダークエネルギー（ω < −1）および宇宙定数（ω = −1）の存在下での宇宙の量子的進化を、ホイーラー＝デウィット方程式の正確解を用いて調査すること。
• パrameter q を用いてホイーラー＝デウィット方程式における順序の曖昧さを解消し、スケール因子 a における波動関数 Ψ(a) の小スケールでの振る舞いに影響を与えること。
• 宇宙が a = 0 におけるビッグバン特異点から始まるのか、それとも有限で特異的でないサイズから始まるのか、順序パラメータ q に依存して決定されることを特定すること。
• ハミルトニアン＝ジャコビ形式を用いてスケール因子の時間発展 t(a) を分析し、有限時間内にビッグリップ特異点が存在するかを評価すること。

提案手法

• スケール因子 a のハミルトニアンにおける運動項を変更するパrameter q を用いたホイーラー＝デウィット方程式を解く。
• ミニスーパースペースにおけるシュレーディンガー型方程式を適用し、波動関数がスケール因子 a と順序パラメータ q に依存することを仮定する。
• ホイーラー＝デウィット方程式の正確解から出発し、ハミルトニアン＝ジャコビ形式を用いてスケール因子 a の時間発展 t(a) を導出する。
• 特に初期時空および大スケール極限における、q = 0 および q = 1 の両ケースにおけるスケール因子 a(t) の振る舞いを分析する。
• 古典的フレリーマン方程式の解と比較することで、半古典的振る舞いの妥当性を検証する。
• 式 (20) を用いて、ビッグリップに到達するまでの時間を評価する。この時間は、偽陽子的エネルギー密度とプランク定数 ℏ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイーラー＝デウィット方程式における順序パラメータ q の選択が、宇宙の初期状態を特異的でない状態に導くのか、それとも a = 0 におけるビッグバン特異点を支持するのか？
• RQ2 ホイーラー＝デウィット方程式の正確な解析解は、偽陽子的ダークエネルギー（ω < −1）下で有限時間のビッグリップ特異点を予測できるか？
• RQ3 q = 0 の場合、初期スケール因子は偽陽子的エネルギー密度およびプランク定数 ℏ にどのように依存するか？
• RQ4 ハミルトニアン＝ジャコビアプローチは、偽陽子的エネルギー下でスケール因子が有限時間内に無限大に達することを確認できるか？また、その時間は ℏ にどのように依存するか？
• RQ5 スケール因子の振る舞いは、偽陽子的エネルギー（ω < −1）と宇宙定数（ω = −1）の両者において、特異点形成および時間発展の観点からどのように異なるか？

主な発見

• q = 0 の場合、波動関数 Ψ(a) は小スケールで有限のままであり、宇宙が有限で特異的でないスケール因子から始まる確率が非常に高いことを示しており、式 (12) に示されるように、偽陽子的エネルギー密度とプランク定数 ℏ の関数として明示的に計算されている。
• q = 1 の場合、波動関数は a = 0 で発散するため、宇宙がビッグバン特異点から始まる確率が非常に高いとされ、偽陽子的エネルギー含量が増加するにつれてその確率が上昇する。
• ハミルトニアン＝ジャコビ解析により、偽陽子的エネルギー（ω = −3/2）下でスケール因子が有限の宇宙的時間内に無限大に達することが確認され、ビッグリップ特異点を示している。この時間は式 (20) に示されるように ℏ に依存する。
• 一方、ω = −1（宇宙定数）の場合、スケール因子は無限の時間内にしか無限大に達しないため、ビッグリップは排除され、図 5 の t(a) 図により確認されている。
• 本モデルは、初期時空においてスケール因子の時間的振動を予測しており、その振幅は減少する傾向にある。これは、最近の超新星観測データおよび Ringermacher & Mead (2019) の結果と一致する。
• 結果として、大スケール領域においても、量子効果（ℏ を通じて）がビッグリップのタイミングに影響を与えることが示され、宇宙の最終的運命が本質的に量子力学的性質を有することを示している。