[論文レビュー] Exact solutions of topologically massive gravity

David D. K. Chow, C.N. Pope+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元トポロジカル・マス・グラビティ（TMG）における正確解の包括的分類を提示し、二軸対称に圧縮されたAdS3およびクンドト時空を中心的な解族として特定する。代数的型IIIおよびIIのクンドト解が存在することを確立し、すべての定数スカラー不変量クンドト解がAdS3または二軸対称に圧縮されたAdS3の変形であることを示し、多くの既知の解がこれらの形と局所的に同値であることを示す。

ABSTRACT

We study exact solutions of three-dimensional gravity with a cosmological constant and a gravitational Chern–Simons term: the theory known as topologically massive gravity. General techniques and classifications of solutions are reviewed. We show that biaxially squashed AdS3 solutions follow from assuming algebraic type D curvature for which the one-dimensional eigenspace of the traceless Ricci tensor is aligned with a Killing vector. We find the general Kundt solutions: spacetimes admitting an expansion-free geodesic null congruence. These provide the first examples of solutions with algebraic types III and II. We find that a Kundt solution of algebraic type D must be biaxial spacelike-squashed AdS3. We present explicitly the Kundt solutions for which all scalar polynomial curvature invariants are constant, and find that all Kundt solutions with algebraic types D, N and III have this property. These constant scalar invariant Kundt solutions are deformations of round or biaxial spacelike-squashed AdS3, and include AdS pp-waves. We also provide a comprehensive review of the literature, showing that most known solutions are locally equivalent to biaxially squashed AdS3 or AdS pp-waves. Contents

研究の動機と目的

• アインシュタイン＝ヒルベルト項とチェーン＝シモンズ項を組み合わせた理論である3次元トポロジカル・マス・グラビティ（TMG）における正確解を体系的に分類すること。
• 代数的型Dの曲率とキリングベクトルに一致するトレースレスリッチテンソルの1次元固有空間を仮定することで、二軸対称に圧縮されたAdS3解を特定・特徴付けること。
• 発散率ゼロの測地的光線束を許容するクンドト解を構成・解析し、代数的型によって分類すること。
• クンドト時空においてスカラー多項式曲率不変量が定数となる条件を特定すること。
• 既存の解を統合・レビューし、多くの既知の解が二軸対称に圧縮されたAdS3またはAdS pp波と局所的に同値であることを示すこと。

提案手法

• トレースレスリッチテンソルの1次元固有空間をキリングベクトルに一致させ、代数的型Dの曲率を仮定することで、二軸対称に圧縮されたAdS3解を導出する。
• クンドト計量のアンサンブルを適用し、発散率ゼロの測地的光線束を許容する解を構成する。
• 曲率テンソルの代数的分類を用いて、ウェイルテンソルおよびリッチテンソルの型（例：III、II、D、N）によって解を分類する。
• すべてのスカラー多項式曲率不変量が定数であるという条件を課し、クンドト解の特別な部分クラスを特定する。
• 包括的な文献レビューを実施し、既知の解が二軸対称に圧縮されたAdS3またはAdS pp波と局所的に同値であることを確立する。
• 宇宙定数とチェーン＝シモンズ項を伴う3次元における微分幾何的技法、特にリッチおよびウェイルテンソルの解析を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二軸対称に圧縮されたAdS3解がトポロジカル・マス・グラビティにおいて一般にどのような条件下で出現するか。
• RQ2 3次元TMGにおける代数的型IIIおよびIIのクンドト解は存在するか。その幾何的性質は何か。
• RQ3 どのクンドト解が定数スカラー多項式曲率不変量を持つのか。それらはAdS3やpp波などの既知の背景とどのように関係しているか。
• RQ4 TMGにおける既知の正確解の多くが、二軸対称に圧縮されたAdS3またはAdS pp波とどれほど局所的に同値であるか。
• RQ5 トレースレスリッチテンソルの固有空間がキリングベクトルに一致することによって、解の幾何にどのような制約が生じるか。

主な発見

• 二軸対称に圧縮されたAdS3解は、代数的型Dの曲率を仮定し、トレースレスリッチテンソルの1次元固有空間をキリングベクトルに一致させることで導出される。
• 代数的型IIIおよびIIのクンドト解の最初の例が構成され、TMGにおける正確解の既知のクラスが拡張される。
• 代数的型Dのクンドト解は、二軸対称に空間的につぶれたAdS3でなければならないことが示され、強い幾何的制約が得られる。
• すべての定数スカラー不変量クンドト解（型D、N、III）が、丸いまたは二軸対称に空間的につぶれたAdS3の変形、すなわちAdS pp波を含む、であることが示される。
• 文献レビューにより、TMGにおける多くの既知の正確解が、二軸対称に圧縮されたAdS3またはAdS pp波と局所的に同値であることが確認され、分類が統合される。