[論文レビュー] Exact spectrum of the Laplacian on a domain in the Sierpinski gasket

Hua Qiu|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、標準的なスペクトル減少法が失敗する場合に備えて、弱いスペクトル減少法を用いて、Sierpinskiギャスケット内の領域 Ω におけるラプラシアンの完全なスペクトル解析を提示する。DirichletおよびNeumann境界条件のもとで、特徴的関数 p_m(x) の根を解析することで、反復関数系と有限グラフ上のラプラシアンのスペクトル特性を用いて、反復的構成法と多項式の符号解析を用いた帰納法により、m ≥ 3 のとき λ_{m+1,r_m+1} > 2 であることを示す。さらに、更新定理の精密化を用いて、ρ^Ω(x) の漸近的形を導出し、g(log x) が log 5 周期性を持つ有界関数であることを示す。その結果、ρ^Ω(x) = g(log x)x^{log 3/log 5} + O(x^{log 2/log 5} log x) が得られ、Weyl や Berry 型の予想に一致する 2 階の項 x^{log 2/log 5} が確認される。

ABSTRACT

For a certain domain $Ω$ in the Sierpinski gasket $\mathcal{SG}$ whose boundary is a line segment, a complete description of the eigenvalues of the Laplacian, with an exact count of dimensions of eigenspaces, under the Dirichlet and Neumann boundary conditions is presented. The method developed in this paper is a weak version of the spectral decimation method due to Fukushima and Shima, since for a lot of "bad" eigenvalues the spectral decimation method can not be used directly. Let $ρ^0(x)$, $ρ^Ω(x)$ be the eigenvalue counting functions of the Laplacian associated to $\mathcal{SG}$ and $Ω$ respectively. We prove a comparison between $ρ^0(x)$ and $ρ^Ω(x)$ says that $ 0\leq ρ^{0}(x)-ρ^Ω(x)\leq C x^{\log2/\log 5}\log x$ for sufficiently large $x$ for some positive constant $C$. As a consequence, $ρ^Ω(x)=g(\log x)x^{\log 3/\log 5}+O(x^{\log2/\log5}\log x)$ as $x ightarrow\infty$, for some (right-continuous discontinuous) $\log 5$-periodic function $g:\mathbb{R} ightarrow \mathbb{R}$ with $0

研究の動機と目的

• Sierpinski ギャスケット内の領域 Ω におけるラプラシアンの固有値および固有空間次元の完全な記述を提供すること。
• 通常の対称性条件を満たさない「悪い」固有値に対して標準的スペクトル減少法が適用できない問題を克服するため、弱いバージョンのスペクトル減少法を考案すること。
• x が十分に大きい場合の固有値数関数 ρ^Ω(x) の漸近的挙動を、主項および2次項を含めて導出すること。
• ρ^Ω(x) を全 Sierpinski ギャスケットの固有値数関数 ρ^0(x) と比較し、ρ^0(x) - ρ^Ω(x) ≤ Cx^{log 2/log 5} log x を確立すること。

提案手法

• 対称性に欠ける固有値に対して標準的スペクトル減少法が適用できない場合に備えて、弱いスペクトル減少法を考案する。
• 領域 Ω の逐次的グラフ近似に関連する特徴的多項式 p_m(x) の根を解析する。
• 反復関数系の漸近的挙動と有限グラフ上でのラプラシアンのスペクトル特性を用いて、固有値数関数 ρ^Ω(x) を分析する。
• 帰納法と多項式 p_m(x) の符号解析を用いて、m ≥ 3 のとき特定の固有値が 2 を上回ることを示す。
• θ_m(z) = q_m(φ_−^{(m)}(z)) の再帰的構成を用いて、q_m(x) が関連する区間で正であることを証明し、必要な区間内に固有値が存在することを保証する。
• 更新定理の精密化を用いて、ρ^Ω(x) の漸近的形を導出し、主項に log 5 周期性を持つ関数 g(log x) を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的スペクトル減少法が一部の固有値に対して失敗する場合、Sierpinski ギャスケット内の有界領域 Ω におけるラプラシアンのスペクトルを完全に記述する方法は何か？
• RQ2 x が十分に大きい場合の固有値数関数 ρ^Ω(x) の正確な漸近的挙動は何か？ また、全 Sierpinski ギャスケットのスペクトルとどのように比較できるか？
• RQ3 実験的データおよび Weyl や Berry の予想への類似性から示唆されるように、ρ^Ω(x) の漸近展開に x^{log 2/log 5} 階の2次項を特定できるか？
• RQ4 log 5 周期関数 g(log x) は ρ^Ω(x) の主項においてどのような役割を果たし、その有界性は Sierpinski ギャスケットのスペクトル次元とどのように関係するか？
• RQ5 対称性が低い領域に対して、標準的スペクトル減少法が破綻する状況において、弱いスペクトル減少法を体系的に適用する方法は何か？

主な発見

• x → ∞ のとき、固有値数関数 ρ^Ω(x) は ρ^Ω(x) = g(log x)x^{log 3/log 5} + O(x^{log 2/log 5} log x) を満たす。ここで g は 0 < inf g < sup g < ∞ を満たす有界な log 5 周期関数である。
• 全 Sierpinski ギャスケットの固有値数関数 ρ^0(x) と ρ^Ω(x) の差は、ある C > 0 および十分に大きな x に対して Cx^{log 2/log 5} log x で有界である。
• m ≥ 3 のとき、最初の m 水準初期固有値 λ_{m+1,r_m+1} は 2 より大きい。これは特徴的多項式の符号解析から導かれる。
• θ_m(z) の帰納的構成を用いて、q_m(x) が (0, φ_−^{(m)}(6)) で正であることが示され、必要な区間内に固有値が存在することが保証される。
• ρ^Ω(x) の漸近的展開には、数値的データから明らかになる x^{log 2/log 5} 階の2次項が含まれており、これは Weyl や Berry 型の期待と一致する。
• 弱いスペクトル減少法は、対称性に欠ける領域において標準的スペクトル減少法が失敗する状況にも、スペクトル解析を拡張するのに成功した。