[論文レビュー] Exact triangles in Seiberg-Witten Floer theory. Part IV: Z-graded monopole homology

Matilde Marcolli, Bai‐Ling Wang|ArXiv.org|Sep 15, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ホモロジー球面上の絡み目の0-スケーリングによって得られるb₁ > 0を満たす3次元多様体Y₀に対して、チャーン・サイモンズ・ディラック汎関数を介してZℓ-次数付きSeiberg-Witten-Floer homologyの整数上昇を構成することにより、Z-次数付きモノポールホモロジーを確立する。得られたZ-次数付きホモロジー群がℓシフトごとの直和分解を満たすことを証明し、Seiberg-Witten-Floer理論における正確な三角形の構成を可能にし、モノポールFloerホモロジーのスケーリング公式における問題を解消する。

ABSTRACT

Some aspects of the construction of SW Floer homology for manifolds with non-trivial rational homology are analyzed. In particular, the case of manifolds that are obtained as zero-surgery on a knot in a homology sphere, and for torsion spinc structures. We discuss relative invariants in the case of torsion spinc structures.

研究の動機と目的

• b₁ > 0を満たす3次元多様体におけるSeiberg-Witten-Floer理論の正確な三角形に現れるZ-次数付きモノポールホモロジーの曖昧性を解消すること。
• ホモロジー球面上の絡み目の0-スケーリング多様体Y₀におけるZℓ-次数付きSeiberg-Witten-Floerホモロジーの標準的整数上昇を定義すること。
• 元の多様体Yからの次数を用いて、正確な三角形の構成によりZ-次数付きモノポールホモロジーを確立すること。
• 第一チャーン類が torsion であるSpin^c構造の場合に、Z[[t]]に係数をとるノヴィコフ複体を用いて理論を拡張すること。

提案手法

• ゲージ同値類の空間の無限次被覆上におけるチャーン・サイモンズ・ディラック汎関数の正則値ωを用いて、Z-次数付きチェーン複体C*^(ω)(Y₀, s)を構成する。
• 汎関数の上昇を介して臨界点のインデックスの整数上昇を定義し、適切に定義された境界作用素を持つZ-次数付きチェーン複体を構成する。
• Zℓ-次数付き複体のスペクトル系列が元のZℓ-次数付きホモロジーに収束することを示し、E¹項がω上昇を介してZ-次数付きホモロジーと同型であることを示す。
• Y₀上のモノポールのモジュライ空間とY上の相対モジュライ空間との間の全単射写像jを介して、正確な三角形から引き出される次数を用いた代替的Z-次数付きホモロジーを構成する。
• Torsionの場合には、摂動における非自明なコホモロジー類を扱うために、Z[[t]]に係数をとるノヴィコフ複体を導入し、境界作用素が適切に定義されることを保証する。
• Seiberg-Wittenモノポールのグリューニング理論を用いて、4次元多様体不変量と3次元多様体Floerホモロジーを関連づけ、特にΣg × S¹の場合を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 b₁ > 0を満たす3次元多様体におけるZℓ-次数付きSeiberg-Witten-Floerホモロジーを、どのようにしてZ-次数付き理論へ標準的上昇できるか？
• RQ2 ω上昇を用いて構成されたZ-次数付きホモロジーと元のZℓ-次数付きホモロジーとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 Seiberg-Witten-Floer理論における正確な三角形は、0-スケーリング多様体Y₀におけるZ-次数構造をどのように制約するか？
• RQ4 第一チャーン類がtorsionである場合に、Z-次数付きモノポールホモロジーを一貫して定義できるか？
• RQ5 スペクトル系列は、ω上昇されたZ-次数付き複体と元のZℓ-次数付きホモロジーとの関係をどのように規定するか？

主な発見

• Z-次数付きモノポールホモロジーHF_{*,(ω)}^{SW}(Y₀, s)は、Z-次数付きチェーン複体C*^(ω)(Y₀, s)のホモロジーとして構成され、元のZℓ-次数付きホモロジーに収束するスペクトル系列を持つ。
• スペクトル系列のE¹項はHF_{*,(ω)}^{SW}(Y₀, s)と同型であり、すべての高次の微分が消える場合、HF_m^{SW}(Y₀, s) = ⨁_{n∈Z} HF_{m+nℓ, (ω)}^{SW}(Y₀, s)が成り立つ。
• 正確な三角形を介して得られる代替的Z-次数付きホモロジーでは、次数が元の多様体Yからの引き戻しにより与えられ、HF_n^{SW}(Y₀, s) = ⨁_{k∈Z} HF_{n+kℓ}^{SW}(Y₀, s)が得られる。
• Torsionの場合、境界作用素は、エネルギーが一様な成分に分離された後、Z[[t]]に係数をとるノヴィコフ複体を用いることでのみ適切に定義される。
• トーラスの場合の例として、Σg × S¹と自明なSpin^c構造に対して、HF^{SW}_{Γ,*}(Σg × S¹, s₀; Q((t))) ≅ H_*(Sym^{g-1}(Σ), Q) ⊗ Q((t))が成り立ち、特にトーラスの場合にはHF^{SW}_{Γ,*}(T² × S¹, s₀; Q((t))) ≅ Q((t))が得られる。
• T² × D²に対しては、相対Seiberg-Witten不変量がSW_{T²×D²}(s₀,1) = 1/(t - t⁻¹)として計算され、非ゼロの不変量は次数1のクラスに対してのみ存在する。