[論文レビュー] Exactly soluble spin-1/2 models on three-dimensional lattices and non-abelian statistics of closed string excitations

Tieyan Si, Yue yu|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2007

Advanced Condensed Matter Physics参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、キタエブのヘキサゴナル格子モデルを一般化した、3次元ダイヤモンド格子上の正確に解けるスピン1/2模型を提案する。この模型は、ギャップなし相における非アーベル統計に従う閉じたストリング励起状態と、ギャップあり相におけるアーベル統計に従う励起状態を示し、これら二相の間でトポロジカル相転移を実現する。また、ウィルスン・ループに類似した励起状態を通じて非アーベル統計の格子実現を提供し、SU(2) k=2 チャーン・シンコス理論と関連付ける。

ABSTRACT

Exactly soluble spin-$\frac{1}2$ models on three-dimensional lattices are proposed by generalizing Kitaev model on honeycomb lattice to three dimensions with proper periodic boundary conditions. The simplest example is spins on a diamond lattice which is exactly soluble. The ground state sector of the model may be mapped into a p-wave paired state on cubic lattice. We observe for the first time a topological phase transition from a gapless phase to a gapped phase in an exactly soluble spin model. Furthermore, the gapless phase can not be gapped by a perturbation breaking the time reversal symmetry. Unknotted and unlinked Wilson loops arise as eigen excitations, which may evolute into linked and knotted loop excitations. We show that these closed string excitations obey abelian statistics in the gapped phase and non-abelian statistics in the gapless phase.

研究の動機と目的

• キタエブのヘキサゴナル格子上での正確に解けるスピン1/2模型を、特にダイヤモンド格子上で3次元に一般化すること。
• 3次元スピン模型におけるトポロジカル相、特にギャップなし相とギャップあり相を特定・特徴付けること。
• 閉じたストリング励起状態がギャップなし相では非アーベル統計に従い、ギャップあり相ではアーベル統計に従うことを示すこと。
• 模型の励起状態と3次元チャーン・シンコス場理論におけるウィルスン・ループとの関係を確立すること、特にSU(2) k=2理論に焦点を当てる。
• 初めて正確に解ける模型として、ギャップあり相とギャップなし相の間のトポロジカル相転移の存在を示すこと。

提案手法

• 4種類の異なるリンクタイプ（x, y, z, v）に沿った最近接相互作用を用いて、3次元ダイヤモンド格子上にスピン1/2自由度を持つハミルトニアンを構築する。
• 可換なループ演算子 $ S_p $ の集合を導入し、運動量積分としての役割を果たし、ヒルベルト空間をトポロジカルに異なるセクターに射影する。
• スピン模型を $ \sigma^x = i b_x c $, $ \sigma^y = i b_y c $, $ \sigma^z = i b_z c $ のマヨラナフェルミオン表現に変換し、制約 $ b_x b_y b_z c = 1 $ を導入する。
• リンク変数 $ u_{ij} = i b_i b_j $ を定義し、保存量として $ \pm 1 $ の値を取り得るようし、ハミルトニアンをフェルミオンの hopping 項と pairing 項に書き直す。
• Liebの定理を用いて、すべての $ u_{ij} = 1 $ のセクター（$ S_p = 1 $ に対応）における基底状態を特定し、$ u_{ij} = -1 $ が奇数個ある状態をループ励起状態として特定する。
• 連続極限において3次元格子を $ S^3 $ にコンパクト化し、コンformal field theory とモノドロミー行列を用いてウィルスン・ループ励起状態を解析し、$ B $-行列とスケイン関係を用いて非アーベル統計を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元で正確に解けるスピン1/2模型を構築し、非アーベル anyonic ストリング励起状態を支持できるか？
• RQ2 このような模型におけるギャップあり相とギャップなし相の間の相転移の性質は何か？
• RQ3 模型内の閉じたストリング励起状態が非アーベル統計をどのように実現するか、またチャーン・シンコス場理論とどのように関係するか？
• RQ4 なぜギャップなし相は時間反転対称性破れ摂動に対して頑健なのか？
• RQ5 結び目のない、絡まない、絡む、結び目のあるループ励起状態の統計は、この枠組み内で一貫して記述可能か？

主な発見

• ギャップあり相（トポロジカルに自明、ホップ不変量が0）とギャップなし相（トポロジカルに非自明、ホップ写像の特異性により非ゼロの巻き数を有する）の間のトポロジカル相転移を実現する。
• ギャップあり相における閉じたストリング励起状態は、運動量空間におけるリンク数と等価なホップ不変量により、アーベル統計に従うことが確認された。
• ギャップなし相では、閉じたストリング励起状態が非アーベル統計に従い、モノドロミー行列 $ B $ が単位行列に比例しない。$ S^2 $ 上の3状態ヒルベルト空間は、$ q = e^{i\frac{\tau}{2}} $, $ \tau = \pi/2 $ を用いたスケイン関係を満たす。
• $ B $-行列の固有値は $ \lambda_1 = e^{-i\pi/8} $, $ \lambda_2 = -e^{i3\pi/8} $ であり、非アーベルのバーニング統計が確認された。
• ギャップなし相は時間反転対称性破れ摂動に対してもギャップが保たれ、トポロジカル保護の兆候を示した。
• ウィルスン・ループ励起状態が非アーベル統計に従う格子実現を提供し、ウィッテンのSU(2) k=2 チャーン・シンコス理論における構成と密接に類似している。