[論文レビュー] Exactly-solvable Ising-Heisenberg model for the coupled barotropic fluid - rotating solid sphere system - condensation of super and sub-rotating barotropic flow states

Chjan C. Lim|ArXiv.org|Nov 27, 2006

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、マイクロカノニカル相対渦度の制約下で、連成されたバロトropic流体および回転する固体球体系の正確に解けるイジング＝ヘイゼンベルグスピン格子モデルを提示する。これはボーズ＝アインシュタイン凝縮に類似した正確な相転移を示し、複雑なトルクを介した角運動量の交換によって、ランダムな渦度から自己組織化されるスーパー回転およびサブ回転流状態を実現する。低温欠陥は存在せず、すべての正および負の温度に対して閉形式の分配関数が有効である。

ABSTRACT

Exact solutions of a family of Heisenberg-Ising spin-lattice models for a coupled barotropic flow - massive rotating sphere system under microcanonical constraint on relative enstrophy is obtained by the method of spherical constraint. Phase transitions representative of Bose-Einstein condensation in which highly ordered super and sub-rotating states self-organize from random initial vorticity states are calculated exactly and related to three key parameters - spin of sphere, kinetic energy of the barotropic flow which is specified by the inverse temperature and amount of relative enstrophy which is held fixed. Angular momentum of the barotropic fluid relative to the rotating frame of the infinitely massive sphere is the main order parameter in this statistical mechanics problem $-$ it is not constrained either canonically nor microcanonically as coupling between the fluid and the rotating sphere by a complex torque is responsible for its change. This coupling and exchange of angular momentum is a necessary condition for condensation in this spin-lattice system. There is no low temperature defects in this model - the partition function is calculated in closed form for all positive and negative temperatures. Also note-worthy is the fact that this statistical equilibrium model is not a mean field model and can be extended to treat fluctuations if required in more complex coupled flows.

研究の動機と目的

• マイクロカノニカル渦度の制約下で正確に解ける統計力学的枠組みを、地球物理学的流れに適用するための開発。
• 連成されたバロトropic流体および回転する固体球体の緩和ダイナミクスをモデル化し、惑星の大気相互作用を模倣する。
• ランダムな渦度から秩序あるスーパー回転およびサブ回転流状態が相転移を経て出現する仕組みの解明。
• 複雑なトルクを介した角運動量の交換が、この系における凝縮を実現するための必要条件である役割を確立する。
• 平均場近似を用いない非平均場モデルとして、すべての温度における正確な分配関数と閉形式解を提供する。

提案手法

• マイクロカノニカル相対渦度を強制するための球面制約を導入したヘイゼンベルグ＝イジングスピン格子モデルによる系の定式化。
• 回転フレームにおけるハミルトニアンの導出。運動エネルギーを相対的および惑星的成分に分離。
• ストリーム関数と渦度の分解を用いて、エネルギーを相対渦度と惑星的回転に依存する形で表現。
• 回転フレームに対する流体の角運動量を主な秩序パラメータとし、正準またはマイクロカノニカルに制約なしに扱う。
• 球面制約法を用いて、すべての温度における分配関数および自由エネルギーの正確な解を導出。
• 流体と球体間の複雑なトルク結合を組み込み、角運動量の交換を可能とし、凝縮を駆動する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マイクロカノニカル渦度の制約下で、連成された流体＝球体系においてボーズ＝アインシュタイン凝縮に類似した正確な相転移を導出可能か？
• RQ2 複雑なトルクを介した角運動量の交換が、スーパー回転およびサブ回転流状態の自己組織化をどのように実現するか？
• RQ3 特に凝縮とエントロピーに関して、正および負の温度における系の挙動の違いは何か？
• RQ4 平均場近似を用いずに正確に解けるか？また、低温欠陥は回避されるか？
• RQ5 凝縮の臨界温度は何か？スピン、運動エネルギー、相対渦度によってどのように決定されるか？

主な発見

• すべての正および負の温度に対して、閉形式の分配関数が得られ、低温欠陥は存在しない。
• ボーズ＝アインシュタイン凝縮に類似した相転移が発生し、初期のランダム渦度から、高秩序なスーパー回転およびサブ回転状態が自己組織化される。
• 臨界温度 $T_c'$ は、$\sum_{l=2}^{\sqrt{N}} \sum_{m=-l}^{l} (\lambda_{lm} - 1/2)^{-1}$ の逆数に、渦度 $Q$ と系サイズ $N$ をスケーリングした値として決定される。
• 比熱は $T_c'$ で不連続性を示し、第二種相転移を示す。そのジャンプは $\lambda_{lm}$ および $T_c'$ を含む極限によって定量的に評価される。
• $T' = 0$ において、サイトあたりの内部エネルギーは $u(0) = Q/(16\pi)$ であり、すべてがグランドモードに集中する。$T' < 0$ では、すべてのエネルギーがエルゴードモードに存在し、$T'$ が小さくなるにつれてエントロピー的支配が強まる。
• 自由エネルギー $f(T')$ は $T' < T_c'$ において $T'$ がより負になるにつれて減少し、エントロピー項 $-T's(T')$ が駆動要因となる。一方、$T' > T_c'$ では増加する。