[論文レビュー] Exactly solvable two-dimensional Schrodinger operators and Laplace transformations

S. P. Novikov, А. П. Веселов|ArXiv.org|Mar 10, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、トポロジカルに非自明な設定において、ラプラス変換を離散的対称性として用いる、まったく新しい応用を提案する。この手法により、ℤ 上の離散的シュレーディンガー作用素のクラスに対して、明示的な固有値スペクトルと固有関数が導出され、パラメータ a > 1 または a < 1 の場合に λ ∈ [0,1) で有限な離散的スペクトルを持つことが明らかになった。これらの表現は、q-Pochhammerに類似した積とシータ関数を含む閉形式で与えられる。

ABSTRACT

Different cases of sequences of the Laplace Transformations for the 2D Schrodinger operator in the periodic magnetic field and electric potential are considered. They lead to the exactly solvable operators with nonstandard spectral properties including the double-periodic operators with algebraic Fermi surface known from the periodic soliton theory. Two appendices are added. In the Appendix I (the author - S. Novikov) two discretizations of the 2D operators and Laplace transformations are constructed. In the Appendix II (the authors - S. Novikov and I. Taimanov) some nonstandard 1D discrete operators are constructed with very interesting spectral properties.

研究の動機と目的

• トポロジカルに自明でない状況にまで、正確に解けるシュレーディンガー作用素の理論を拡張すること。
• ラプラス変換を離散的対称性として用いて、新しいクラスの正確に解ける2次元シュレーディンガー作用素を生成すること。
• 整数格子 ℤ 上の離散的シュレーディンガー作用素 L(c,a) のスペクトル特性、特に固有値と固有関数を特定すること。
• 特に λ ≥ 1 のスペクトルとスペクトル生成代数に関する主張の妥当性について、先行研究における曖昧さや誤りを解消すること。
• ラプラス変換の巡回的鎖と離散的シュレーディンガー作用素のスペクトル構造との関係を確立し、特にシータ関数による基底状態の正規化を含むこと。

提案手法

• Lψ = 0 の解に作用するラプラス変換を離散的対称性として用い、変換されたポテンシャルを持つ新しいシュレーディンガー作用素 L' を生成する。
• 差分作用素 Q と Q⁺ を用いて、パラメータ c と a でパラメータ化された ℤ 上の離散的シュレーディンガー作用素 L(c,a) の族を構築する。
• 作用素 Q と Q⁺ の再帰的適用により、固有値スペクトルと固有関数を導出し、ψₙ(k,c,a) について Pₙ(k,c,a) と ψ₀ₖ(c,a) を用いた明示的な閉形式表現を得る。
• 連続極限において基底状態 ϕ₀(x) をシータ関数 Θ[u|a] を用いて正規化し、Lϕ₀ = 0 かつ ℝ 上で可積分であることを保証する。
• ハイパーオーロニック Θ-関数とリーマン面幾何学の理論を用いて、特に有限ジェノスの場合のスペクトル曲線 Γ を分析する。
• 先行研究 [SVZ] の主張を是正し、固有関数が指数関数的に増大する場合にはスペクトル生成代数の主張が成立しないことを示し、λ ≥ 1 に対して連続スペクトルであると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラス変換を、トポロジカルに非自明な設定において、正確に解ける2次元シュレーディンガー作用素を体系的に生成する離散的対称性として用いることは可能か？
• RQ2 パラメータ a > 1 および a < 1 の場合に、ℤ 上の離散的シュレーディンガー作用素 L(c,a) のスペクトル構造は何か、特に [0,1) 内の固有値に関しては？
• RQ3 作用素 Q と Q⁺ の再帰的適用において、L(c,a) の固有関数はどのように振る舞い、閉形式で表現可能か？
• RQ4 なぜ [SVZ] におけるスペクトル生成代数に関する主張が誤りであるのか、そしてどのような条件下でその主張が無効になるのか？
• RQ5 ヒルベルト空間 L₂(ℤ) において λ ≥ 1 のスペクトルの性質は何か、また基底状態の振る舞いとどのように関係するか？

主な発見

• a > 1 の場合、L(c,a) のスペクトルは n ≥ 0 に対して λₙ = 1 − a⁻²ⁿ で与えられ、固有関数は ψₙ(k,c,a) = Pₙ(k,c,a)ψ₀ₖ(c,a) で表され、Pₙ(k,c,a) = (a⁻²ᵏ − ca²ⁿ⁻²)ⁿ である。
• a < 1 の場合、スペクトルは n ≥ 1 に対して λₙ = 1 − a²ⁿ で与えられ、固有関数は ψₙ(c,a) = Q⁺(c/a²,a)⋯Q⁺(c/a²ⁿ⁻²,a)ψ₁(c/a²ⁿ⁻²,a) であり、ψ₁(c,a) = τψ₀(c/a²,1/a) である。
• 連続極限における作用素の基底状態 ϕ₀(x) は、ϕ₀(x) = γˣ⁽ˣ⁻¹⁾ᐟ² / Θ[(m+1−2x)lnγ | 2lnγ] で与えられ、ここで γ = eᵃ かつ a > 0 である。
• λ ≥ 1 のスペクトルは、[1, ∞) 全体を埋め尽くす連続スペクトルであると予想され、以前の離散的構造に関する主張とは矛盾する。
• 本稿では [SVZ] の誤りを是正し、固有関数が指数関数的に増大する場合、特に q > 1 の場合にスペクトル生成代数が成立しないことを示した。
• ラプラス変換の巡回的鎖 Bα₁⋯Bαₙ は、L を共役作用素 L′ に写像する。これは、ℝ 上の連続的実現において、平行移動と定数倍を除いて L と同等である。