[論文レビュー] Example of a 6-by-6 Matrix with Different Tropical and Kapranov Ranks

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2010

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、6×6のトロピカル行列でトロピカルランクが4で、カプラノフランクが5である最初の既知の例を構成し、6×6行列においてこれらの2つのランク概念が異なることがあることを示している。証明は、プアゾー級数体上の明示的な代数的リフト技術を用いて、行列のいかなるリフトに対してもランクが5未満にはならないことを示し、4×4部分行列のトロピカル非特異性により、トロピカルランクが正確に4であることが確認される。

ABSTRACT

We provide an example of a 6-by-6 matrix with tropical rank equal to 4 and Kapranov rank equal to 5. This answers a question asked by M. Chan, A. Jensen, and E. Rubei.

研究の動機と目的

• チャン、ジェンセン、ルベイが提起した、6×6行列でトロピカルランクとカプラノフランクが異なるものが存在するかという未解決問題を解消すること。
• r ≤ 2 または r ≥ min{d,n}−2 のとき、(r+1)×(r+1) の小行列がトロピカル基底をなすという予想1.8に対する具体的な反例を提示すること。
• トロピカルランクとカプラノフランクランクの差が、マトロイドの性質に起因しないことを示すこと。なぜなら、行列の下位マトロイドがℂ上で表現可能であるからである。
• トロピカルランクとカプラノフランクランクが異なる最小の行列サイズが6×6であることを示すこと。なぜなら、5×5以下の行列では、両者のランクが等しいことが既知だからである。

提案手法

• 0, 1, 2, 4 の構造的パターンを用いて、トロピカル半群 (R, min, +) に値をとる6×6の特定の行列 A を構成する。
• すべての5×5部分行列がトロピカル特異（パーマネントの最小値が少なくとも2回以上達成される）であり、特定の4×4部分行列がトロピカル非特異（最小値が一意の置換で達成される）であることを確認することで、トロピカルランクが4であることを証明する。
• K をプアゾー級数体とするとき、A を K 上の行列 M₀ にリフトする。このとき、K の各成分は、トロピカル成分に一致する次数を持つ形式的ローラン級数である。
• 任意の A のリフト H について、重要な小行列式（H₂₅ と H₆₁）の次数を評価する。評価の性質を用いる：deg(a + b) ≥ min{deg(a), deg(b)} および deg(ab) = deg(a) + deg(b)。
• 2×2 小行列式 ∆ = h₃₃h₄₄ − h₃₄h₄₃ の評価 δ がいかなる値であっても、H₂₅ または H₆₁ の少なくとも一方が非ゼロであることを示し、したがって任意のリフトのランクが5以上であることを示す。
• カプラノフランクが正確に5であると結論づける。なぜなら、特定のリフト M₀ はランク ≤5 を持ち、いかなるリフトもランク <5 を持てないからである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロピカルランクとカプラノフランクランクが異なる6×6行列が存在するか？
• RQ2 d,n = 6 で r ≥ 3 のとき、d×n 行列の (r+1)×(r+1) 小行列は、トロピカル基底をなすか？
• RQ3 トロピカルランクとカプラノフランクランクの差が、非表現可能なマトロイドに起因する可能性はあるか？
• RQ4 トロピカルランクとカプラノフランクランクが異なる最小の行列サイズは何か？

主な発見

• この論文は、トロピカルランク rkt(A) = 4 でカプラノフランクランク rkK(A) = 5 である6×6行列 A を構成し、6×6行列においてこれらのランクが異なることがあることを証明した。
• この例により、6×6行列の5×5小行列がトロピカル基底をなさないことが示され、チャン、ジェンセン、ルベイの予想1.8が反証された。
• ランクの差はマトロイド論的性質に起因しない。なぜなら、行列 A の下位6要素マトロイドがℂ上で表現可能だからである。
• 行列 A はサイズが最小である。定理1.6により、6行または6列未満の行列では、トロピカルランクとカプラノフランクランクに差が生じないことが知られている。
• 証明により、A の任意のリフト H について、H₂₅ または H₆₁ の少なくとも一方が非ゼロであることが示され、したがってすべてのリフトのランクが5以上であることが保証される。
• カプラノフランクランクが正確に5である。なぜなら、特定のリフト M₀ はランク ≤5 を持ち、いかなるリフトもランク <5 を持てないからである。