[論文レビュー] Example Setups of Navier-Stokes Equations with Control and Observation: Spatial Discretization and Representation via Linear-quadratic Matrix Coefficients

Maximilian Behr, Peter Benner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、制御および観測を伴う非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の空間離散化のための体系的フレームワークを提示する。行列ベースの表現を用いることで、効率的な数値シミュレーションが可能となる。非線形項をテンソルベースに定式化し、レイノルズ数のスケーリングを分離することで、線形代数パッケージへの直接的な利用が可能になる。主な貢献は、リーマン・ドライブ・キャビティおよびシリンダ・ウェイクの2つのベンチマーク流れのための、事前にアセンブルされたシステム行列を含む再現可能でオープンソースのデータセットを提供することである。これにより、有限要素ツールボックスを必要とせずに、迅速なシミュレーションおよび制御系設計が可能になる。

ABSTRACT

We provide spatial discretizations of nonlinear incompressible Navier-Stokes equations with inputs and outputs in the form of matrices ready to use in any numerical linear algebra package. We discuss the assembling of the system operators and the realization of boundary conditions and inputs and outputs. We describe the two benchmark problems - the driven cavity and the cylinder wake - and provide the corresponding data. The use of the data is illustrated by numerous example setups. The test cases are provided as plain PYTHON or OCTAVE/MATLAB script files for immediate replication.

研究の動機と目的

• 数値線形代数パッケージへの即時利用を想定した、入力および出力を伴う非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の空間離散化と行列ベース表現の提供。
• 非線形性のテンソル表現とレイノルズ数依存の分離により、流体力学的問題の効率的なシミュレーションおよび制御系設計を可能にする。
• リーマン・ドライブ・キャビティおよびシリンダ・ウェイクの2つの代表的流れを対象とした、事前にアセンブルされたシステム行列、境界条件、制御作用素を含む再現可能でオープンアクセスのデータセットの提供。
• 非線形項を行列テンソル H として表現することにより、H(v,v) = H·v⊗v を満たすことで、モデル順次低次元化およびシステム論的解析を支援する。
• ペナルティを伴うロビン法を用いて、分散および境界制御の実装を容易にし、運動量方程式における一貫性のある線形入力作用素を実現する。

提案手法

• 速度および圧力の有限要素空間にノードベース関数を用いた混合有限要素法による空間離散化。
• 標準ガラーキン有限要素法を用いて、拡散行列 A（拡散）、質量行列 M（質量）、発散行列 J、および外力行列 F のアセンブル。
• 非線形移流項 (v·∇)v を、展開された三重線形形式として表現し、H·v⊗v を可能にするテンソル H に変換する。これにより、行列演算のみで計算が可能になる。
• 拡散作用素 A における 1/Re スケーリングを分離し、行列 A のスケーリングにより、Re の範囲を自由に変更可能なシミュレーションが可能になる。
• ペナルティを伴うロビン法を用いて、非同次ディリクレ境界条件および自然境界条件を扱い、境界条件と制御入力を一貫して線形作用素としてモデル化可能になる。
• 分散制御および境界制御を別々の入力作用素として実装し、境界制御はロビンペナルティ係数 α を用いて実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形ナビエ＝ストークス方程式を、数値線形代数パッケージに即座に適用可能な完全な行列形式で表現する方法は何か？
• RQ2 空間離散化されたナビエ＝ストークス系におけるレイノルズ数依存性を効率的なシミュレーションおよびモデル低次元化のために、どのように分離できるか？
• RQ3 分散および境界制御入力を、半離散系に一貫して組み込みつつ、構造を保ち、システム論的解析を可能にする方法は何か？
• RQ4 ベンチマーク流体力学問題のための統一的でオープンソースのデータフォーマットを確立できるか？
• RQ5 非線形項のテンソル表現が、ナビエ＝ストークス方程式から導かれる双線形・二次系のモデル低次元化をどの程度効率的に可能にするか？

主な発見

• 非線形項 (v·∇)v が、H(v,v) = H·v⊗v を満たす行列テンソル H として成功裏に表現され、明示的なテンソル格納を回避した効率的で行列のみの計算が可能になった。
• 拡散行列 A のスケーリングによりレイノルズ数依存性が明確に分離され、A のスケーリングのみで、Re の範囲を自由に変更可能なシミュレーションが可能になった。
• 境界条件にペナルティを伴うロビン法を適用することで、ディリクレ条件および制御入力の両方を一貫してモデル化可能であり、境界制御は線形入力作用素として実装された。
• データセットには、リーマン・ドライブ・キャビティおよびシリンダ・ウェイクの2つのベンチマーク問題のシステム行列が含まれ、メッシュ解像度が複数（シリンダ・ウェイク：N=1,2,3；ドライブ・キャビティ：N=1,2,30）で、自由度数 NV は 5812 から 19512 の範囲である。
• 数値例により、Re=40, 90, 800, 1200 における定常状態および一時的シミュレーションが成功裏に実行され、Paraview互換の .vtu ファイルを用いた速度場および圧力場の正確な可視化が可能になった。
• 提供された例題スクリプト（PythonおよびMATLAB/Octave版）により、分散制御および境界制御の両ケースを含むすべてのシミュレーションが完全に再現可能であり、所定の時刻における速度および圧力の出力が得られた。