[論文レビュー] Examples of area-minimizing surfaces in the subriemannian Heisenberg group H^1 with low regularity

Manuel Ritoré|ArXiv.org|Mar 10, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、水平線または水平線分上に定義された連続的かつ単調な角度関数を用いて、正則性が低いサブリーマン・ハイゼンベルク群 ℍ¹ 内の面積最小化表面の新しい例を構成する。主な貢献は、単一の水平線または有限個の半直線からなる指定された特異集合をもつ、ユークリッド的局所リプシッツな面積最小化錐の族を構成したことである。これは既知の例を一般化し、制御された特異構造をもつ最初のこのような錐を提供する。

ABSTRACT

We give new examples of entire area-minimizing t-graphs in the subriemannian Heisenberg group H^1. Most of the examples are locally lipschitz in Euclidean sense. Some regular examples have prescribed singular set consisting of either a horizontal line or a finite number of horizontal halflines extending from a given point. Amongst them, a large family of area-minimizing cones is obtained.

研究の動機と目的

• サブリーマン・ハイゼンベルク群 ℍ¹ 内で正則性が低い、全空間にわたる面積最小化 $t$-グラフの新しい例を構成すること。
• 特に水平線または半直線からなる特異集合をもつ面積最小化表面の正則性および構造を調査すること。
• Cheng, Hwang, および Yang の例を含む、既知の ℍ¹ 内の面積最小化錐の例を、非定数の角度関数を許容することで一般化すること。
• 指定された特異集合をもつ $C^{1,1}$ 面積最小化錐の存在を確立し、サブリーマン幾何学における既知の最小曲面のクラスを拡張すること。

提案手法

• 水平線 $L$ 上に定義された連続的かつ非増加な角度関数 $\alpha: L \to (0, \pi)$ を定義する。ここで $L$ は点から出る直線または半直線である。
• 各点 $p \in L$ に対して、$L$ からの角度 $\pm \alpha(p)$ で発する二つの水平半直線（楔）を構成する。
• その $xy$-平面上のグラフが $\mathbb{H}^1$ 内の位相的曲面をなす関数 $u_\alpha: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ を構成する。この曲面はユークリッド的意味で局所リプシッツである。
• 複数の楔が共通の点に集まる場合、隣接する楔の二等分線 $L_i$ 上に角度関数 $\alpha_i$ を定義し、連続性および単調性を保証する。
• 滑らかな近似角度関数を用いたキャリブレーション論法により面積最小性を証明する。これは、キャリブレーションベクトル場の連続性に依存する。
• 楔上で定義された曲面を、特別な場合に $t=0$ の平面と合わせて貼り合わせ、特異集合を制御した全 $t$-グラフを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブリーマン・ハイゼンベルク群 ℍ¹ 内の面積最小化 $t$-グラフは、ユークリッド的意味で局所リプシッツにとどまるような低い正則性のもとで構成可能だろうか？
• RQ2 面積最小化曲面の特異集合の構造は何か？ そして、有限個の水平半直線からなるように指定可能だろうか？
• RQ3 特異集合が単一の半直線より複雑な構造をもつ面積最小化錐は存在するだろうか？ そして、それらを明示的に構成可能だろうか？
• RQ4 特異半直線をもつ既知の最小錐の例を、より複雑な特異構造をもつより広いクラスの錐へ一般化可能だろうか？
• RQ5 キャリブレーション技法は、滑らかでない角度関数に対しても適用可能だろうか？ そして、サブリーマン幾何学において面積最小性を証明するのに有効だろうか？

主な発見

• 本稿では、角度関数 $\alpha$ が連続的かつ非増加である場合でも、ユークリッド的局所リプシッツな全空間にわたる面積最小化 $t$-グラフを構成する。
• 水平線 $L$ と連続的かつ非増加な角度関数 $\alpha$ に対して、対応する曲面は $L$ 沿いに特異集合をもつ面積最小化 $t$-グラフである。
• 角度関数 $\alpha$ が定数の場合、構成は $C^{1,1}$ である楔の内部と特異集合以外では $C^\infty$ である最小錐をもたらす。
• 複数の楔に定数角度関数を適用し貼り合わせることで、共通の点から出る有限個の半直線からなる特異集合をもつ、広いクラスの面積最小化錐が得られる。
• $u(x,y) = \max(0, -xy + \beta_0 y|y|)$ で定義される曲面は、特異半直線 $x = \beta_0 |y|$ 沿いに面積最小化錐であることが示され、[9, Ex. 7.2] の例を一般化する。
• 滑らかでない角度関数に対しても、滑らかな近似関数を用いることでキャリブレーション論法を成功裏に適用した。これにより、垂直平面に沿ってキャリブレーションベクトル場が連続であり続けることが保証され、面積最小性が証明された。