[論文レビュー] Examples of Calabi-Yau threefolds parametrised by Shimura varieties

Alice Garbagnati, Bert van Geemen|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、3次元のカラビ＝ヤウ多様体の明示的例を提示し、そのモジュライ空間が、3次元の自己同型を持つ族から生じるシュイマ多様体、特にボール商をなすことを示している。これらの族は、標準的なミラー対称性の鍵となる「最大無単位モノドロミー」を有さないことが示され、ホッジ構造の分解と複素球上へのユニタリ群作用を用いて、そのピカード＝フクス方程式を導出する手法が提供されている。

ABSTRACT

These are notes from talks of the authors on some explicit examples of families of Calabi-Yau threefolds which are parametrised by a Shimura variety. We briefly review the periods of Calabi-Yau threefolds and we discuss a recent result on Picard-Fuchs equations for threefolds which are hypersurfaces with many automorphisms. Next various examples of families parametrised by Shimura varieties are given. Most of these are due to J.C. Rohde. The examples with an automorphism of order three are given in some detail. We recall that such families do not have maximally unipotent monodromy and that the Shimura varieties in these cases are ball quotients.

研究の動機と目的

• モジュライ空間がシュイマ多様体、特にボール商であるようなカラビ＝ヤウ3次元多様体の族を明示的に構成すること。
• これらの族が最大無単位モノドロミーを有さないことを分析し、標準的なミラー対称性の仮定に挑戦すること。
• 3次元自己同型を用いた幾何的・ホッジ論的記述を通じて、モジュライ空間を記述すること。
• 曲線の自己同型と関連付けることにより、ある族のピカード＝フクス方程式を導出すること。
• モジュライ空間において複素乗法的（CM）点が稠密であることを確立し、ホッジ構造の制御を強化すること。

提案手法

• K3表面と3次元自己同型を持つ楕円曲線からカラビ＝ヤウ3次元多様体を構成するボルチェア＝ヴォイジン型の構成法の使用。
• K3表面および高種数曲線上の3次元自己同型の作用を活用し、固有空間分解を持つホッジ構造を誘導すること。
• ユニタリ群 $ U(1,q) $ を用いて $ F^2 $ 上のホッジ分解をパラメトライズし、モジュライ空間として複素 $ q $-球を得ること。
• $ F^2 $ 上の符号型 $ (1+, q-) $ のヘルミート形式 $ H $ を用いてホッジ構造を表現し、$ V^{3,0} $ が $ H(w',w') > 0 $ を満たすベクトル $ w' $ で張られることを示すこと。
• $ w_0 = 1 $ の正規化により、$ V^{3,0} $ を単位球 $ b{B}^q $ の点でパラメトライズし、明示的なモジュライ記述を得ること。
• 『半ねじれ』構成を介して、3次元多様体のホッジ構造と元の曲線・K3表面のホッジ構造との関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元自己同型を持つカラビ＝ヤウ3次元多様体の族を、そのモジュライ空間がシュイマ多様体となるように構成可能か？
• RQ2 このような族は最大無単位モノドロミーを示さないか？ もしそうならば、ミラー対称性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 ホッジ論的データを用いて、このような族のピカード＝フクス方程式を明示的に導出可能か？
• RQ4 これらの構成において、カラビ＝ヤウ3次元多様体、高種数曲線、K3表面との幾何的関係は何か？
• RQ5 このようなカラビ＝ヤウ3次元多様体のモジュライ空間において、CM点はどの程度稠密になるか？

主な発見

• 3次元自己同型を持つカラビ＝ヤウ3次元多様体のモジュライ空間は、複素 $ q $-球として実現され、ヘルミート対称領域 $ U(1,q)/(U(1) imes U(q)) $ に一致する。
• これらの族は最大無単位モノドロミーを有さないため、ミラー対称性の標準的枠組みとは乖離している。
• $ q = 4 $ の場合、得られるカラビ＝ヤウ3次元多様体はホッジ数 $ h^{1,1} = 40 $、$ h^{2,1} = 4 $ を有し、1つの有理曲線と4つの点を固定する3次元自己同型を持つK3表面から生じる。
• $ q = 5 $ の場合、3次元多様体は $ h^{1,1} = 29 $ を有し、$ b{P}^3 $ 内の放物面の3重被覆として定義される特異K3表面から構成される。分岐曲線には4つの $ A_1 $ 奇性が存在する。
• モジュライ空間を単位球 $ b{B}^q $ を用いてパラメトライズし、$ w_0 = 1 $ の正規化を用いることで、ある族のピカード＝フクス方程式を明示的に記述できる。
• この構成により、ローデのカラビ＝ヤウ3次元多様体が、2つの固定された楕円曲線と3次元自己同型を持つ高種数曲線の積の商の特異点の解消であることが示された。