[論文レビュー] Examples of categorification

Louis Crane, David N. Yetter|ArXiv.org|Jul 27, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、半単純テンソルカテゴリを用いた融合則代数のカテゴリフィケーション枠組みを提案し、Drinfeld二重 D(ℕ[G]) の単位的余単位的ビテンソルカテゴリフィケーションと、H³(G, K×) における群コホモロジー類の間の対応を確立する。このようなカテゴリフィケーションが3-コサイクルによって分類されることを示し、群準同型を用いた3-コサイクルへの写像を通じた非自明な例の構成も行い、クライン＝フレンケル構成による4次元多様体不変量の構築に基礎を築く。

ABSTRACT

We construct tensor and bitensor categories with given Grothedieck rig (fusion algebra) in simple cases. The results provide examples on which to test the conjectural construction of 4-D TQFT's proposed by Crane and Frenkel and shed light on several other constructions of TQFT's.

研究の動機と目的

• 4次元トポロジカル量子場理論（TQFT）の文脈において、融合則代数のカテゴリカルな枠組みを構築すること。
• テンソルカテゴリとコテンソルカテゴリの双対性を確立し、バイアリューブ代数のカテゴリカルな類似物たるビテンソルカテゴリの概念を導入すること。
• 群コホモロジー H³(G, K×) を用いて、Drinfeld二重 D(ℕ[G]) の単位的余単位的ビテンソルカテゴリフィケーションを分類すること。
• 3-コサイクルと群準同型を用いた、非自明なカテゴリフィケーションの明示的構成を行うこと。
• モノイダル2カテゴリとしての表現の2カテゴリを構成するための基礎的データを提供すること。

提案手法

• Artinianで半単純なテンソルカテゴリに対して、Grothendieckのリグ構成を定義し、対象の同型類を直和とテンソル積に関するリグへ写像する。
• 抽象的融合則代数とバイアリューブ代数の概念を導入し、特にすべての1生成子部分モノイドが自由であるリグに注目する。
• Artinianで半単純なK線型カテゴリの2カテゴリ VECT_K-mod を構成し、ℕ上のテンソル積の普遍性を用いてモノイダル2カテゴリ構造を定義する。
• ビテンソルカテゴリを、テンソル構造とコテンソル構造（モノイダル関手の双対）を備えたカテゴリとして定義し、強いモノイダル関手の coherence 条件の双対を満たすものとする。
• D(ℕ[G]) のビテンソルカテゴリフィケーションの構造を、コチェーンの二重複体で記述し、成分 α, φ, β, ρ, r を導入し、同時に共役作用に関して不変である条件を課す。
• コホモロジーを用いたカテゴリフィケーションの分類：単位的余単位的ビテンソルカテゴリフィケーションの同値類が、H³(G, K×) に自然に一対一対応することを示し、コバウンダリーの調整によりコサイクル代表元を正規化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 融合則代数はどのようにビテンソルカテゴリにカテゴリフィケーションされ、そのカテゴリフィケーションを支配する構造は何か？
• RQ2 群コホモロジー H³(G, K×) は、D(ℕ[G]) の単位的余単位的ビテンソルカテゴリフィケーションを分類する上で果たす役割は何か？
• RQ3 非自明なカテゴリフィケーションは明示的に構成可能であり、その存在を保証する条件は何か？
• RQ4 帽子を被せた添え字に関する共役不変性といった構造的制約は、二重複体内のコチェーンの選択をどのように制限するか？
• RQ5 コホモロジー的分類とクライン＝フレンケルおよびクライン＝イーター計画による4次元多様体不変量の構成との関係は何か？

主な発見

• D(ℕ[G]) のスケルタルで単位的余単位的半単純ビテンソルK-カテゴリフィケーションは、3-コサイクル (α, φ, β) と関数 ρ(e;ĥ), r(g;ê) によって完全に決定され、φ(e,e;ĥ,ĝ)·d₂(ρ)(e,ĥ,ĝ) が共役不変である条件を満たす。
• D(ℕ[G]) の単位的余単位的ビテンソルカテゴリフィケーションの同値類は、自然に H³(G, K×)、すなわちGのK×値3次群コホモロジーと一対一対応する。
• 非自明な例は、g,i,j,k がすべて奇数のとき β(g;ĥ,i,ĥ,j,ĥ,k) = -1 と定義し、C₂商をとることで構成され、char(K) ≠ 2 のとき H³(G, K×) に非自明な類をもたらす。
• 任意のGに対して、すべてのスカラー族を1に設定することで、自明なカテゴリフィケーションが存在する。
• コホモロジー的枠組みにより、ビテンソルカテゴリの無限小変形が可能であり、障害は二重複体の全コホモロジーに位置する。
• 得られた結果は、クライン＝イーター構成による4次元多様体不変量の構築のための初期データを提供し、このようなビテンソルカテゴリの表現のモノイダル2カテゴリを構築する基盤を提供する。