[論文レビュー] Examples of *-commuting maps

Ben Maloney, Paulette N. Willis|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2011

Cellular Automata and Applications参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、k-図の無限路空間上のシフト写像が*-可換となるための必要十分条件を確立する：k-図は1-共線的でなければならない。1-共線的であるとは、同じ出発点を持つ任意の2つの辺に対して、それらを含む可換な正方形を形成する一意な辺のペアが存在することを意味する。著者らはさらに、2-図の場合、1-共線的性質が関連するC*-代数の単純性および純粋無限性を示し、左順列的ブロック写像が、フルシフト空間上でのスライディングブロック符号が*-可換になることを保証することを特定している。

ABSTRACT

We introduce the concept of a 1-coaligned $k$-graph and prove that the shift maps of a $k$-graph pairwise *-commute if and only if the $k$-graph is 1-coaligned. We then prove that for 2-graphs $Λ$ generated from basic data *-commuting shift maps is equivalent to a condition that implies that $C^*(Λ)$ is simple and purely infinite. We then consider full shift spaces and introduce a condition on a block map which ensures the associated sliding block code *-commutes with the shift.

研究の動機と目的

• k-図の無限路空間上でのシフト写像が*-可換となる条件を特徴づけること。
• k-図の1-共線的性質とそのシフト写像の*-可換性との関係を確立すること。
• 2-図において1-共線的性質が、関連するC*-代数が単純かつ純粋無限的であることを示すこと。
• フルシフト空間上でのブロック写像に課される条件を同定し、それによって誘導されるスライディングブロック符号がシフト写像と*-可換になるようにすること。
• 力学系およびC*-代数的文脈における*-可換写像の明示的例と構造的条件を提供すること。

提案手法

• 同じ出発点を持つ任意の2つの辺に対して、一意な可換ペアが存在するという性質によって定義される1-共線的k-図の概念を導入する。
• 経路および準同型の集合論的性質を用いて、k-図の無限路空間上でのシフト写像が*-可換となるのは、k-図が1-共線的であるときかつそのときに限ることを証明する。
• 基本的データから構成される2-図を分析し、1-共線的性質がC*-代数が単純かつ純粋無限的であることを示す。
• ブロック写像を介してスライディングブロック符号を定義し、左順列的ブロック写像の概念を導入する。
• ブロック写像が左順列的であることと、誘導されるスライディングブロック符号がシフト写像と*-可換であることとは、同値であることを確立する。
• *-可換性の定義における一意性条件を用いて、ブロック写像が誘導する写像の単射性および全射性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-図の無限路空間上でのシフト写像が、どの条件下で互いに*-可換となるか？
• RQ2 k-図の1-共線的性質は、そのシフト写像の*-可換性とどのように関係しているか？
• RQ3 2-図のどの構造的性質が、その関連C*-代数が単純かつ純粋無限的であることを保証するか？
• RQ4 フルシフト空間上でのスライディングブロック符号がシフト写像と*-可換となるようにするための、ブロック写像に課すべき条件は何か？
• RQ5 スライディングブロック符号とシフト写像の間で*-可換性を保証するブロック写像の特徴づけは可能か？

主な発見

• シフト写像がk-図上で*-可換となるのは、k-図が1-共線的であるときかつそのときに限る。これは、集合論的性質に基づく完全な同値関係を確立する。
• 2-図の場合、1-共線的性質が、関連するC*-代数が単純かつ純粋無限的であることを示す。
• A^n → A というブロック写像 d が、スライディングブロック符号がシフト写像と*-可換となるのは、d が左順列的であるときかつそのときに限る。
• 左順列的ブロック写像は、任意の y, z に対して σ(y) = τ_d(z) が成り立つとき、σ(x) = z かつ τ_d(x) = y を満たす一意な x が存在することを保証する。
• 証明により、左順列的性質が*-可換性の必要十分条件であることが示され、これは第一記号に誘導される写像の単射性および全射性を介して得られる。
• 著者らは、左順列的ブロック写像の明示的例を提示しており、これにはmod-n和写像や4記号写像が含まれ、それらが実際に*-可換性を満たすことを確認している。