[論文レビュー] Examples of Darboux Integrable Discrete Equations Possessing First Integrals of an Arbitrarily High Minimal Order

R. N. Garifullin, R. I. Yamilov|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、任意の高い最小次数を持つ最初の積分をもつ、バーガース型のダーボウックス可積分離散方程式を構成する。特定のパラメータ $\alpha = \alpha_N$ を、単位根から導出することで、両方向の最初の積分の最小次数を $N$ または $N+1$ に一致させられることを示し、任意の自然数 $N$ に対してこのような方程式の存在を証明する。この構成は、線形化変換および非自己同次線形方程式に適用されるラプラース型作用素に依存する。

ABSTRACT

We consider a discrete equation, defined on the two-dimensional square lattice, which is linearizable, namely, of the Burgers type and depends on a parameter $α$. For any natural number $N$ we choose $α$ so that the equation becomes Darboux integrable and the minimal orders of its first integrals in both directions are greater or equal than $N$.

研究の動機と目的

• 任意の自然数 $N$ に対して、その最初の積分の最小次数がそれより大きい離散方程式が存在することを示すこと。
• 2次元格子上の特定のクラスの離散方程式に対して、両方向における最初の積分の構造を分析すること。
• 非線形離散方程式の最初の積分と、関連する線形方程式の最初の積分との間の関係を、離散ホフ・コール変換を介して確立すること。
• パラメータ $\alpha_N$ を、単位根に関連付けることにより、最初の積分の最小次数を体系的に増加させられることを示すこと。
• 最初の積分の明示的構成と、消滅作用素およびシフト作用素を用いた最小性の検証を行うこと。

提案手法

• 著者たちは、パラメータ $\alpha$ をもつ離散バーガース型方程式 (6) を検討し、離散ホフ・コール変換 (2) を用いて非自己同次線形方程式 (7) に線形化可能であることを示す。
• 彼らは $\alpha_N$ を単位の $N$ 乗根と定義し、これにより最初の積分の構造を制御可能となるようにする。
• ラプラース型作用素およびシフト作用素 $T_1$、$T_2$ を用いて、線形方程式 (7) の最初の積分 $\hat{W}_1$、$\hat{W}_2$ を構成し、$T_1 + \alpha_N^k$ および $T_2 - \alpha_N^k$ 項の積を含む明示的表現を得る。
• これらの最初の積分は非自明であり、それぞれの次数が $N+1$ および $N$ であることが示され、消滅作用素法により最小性が確認される。
• 離散ホフ・コール公式 (2) を用いた逆変換により、これらの線形最初の積分は元の非線形方程式 (6) の最初の積分 $W_1$、$W_2$ に写像され、次数および可積分性の性質が保存される。
• 最小性は消滅作用素技法を用いて検証され、構成された例に対しては、より低い次数の最初の積分が存在しないことが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の自然数 $N$ に対して、両方向の最初の積分の最小次数がそれより大きいダーボウックス可積分離散方程式を構成できるか？
• RQ2 離散バーガース型方程式 (6) のパラメータ $\alpha$ は、最初の積分の構造および最小性にどのように影響するか？
• RQ3 離散ホフ・コール変換の下で、非線形方程式 (6) の最初の積分と関連線形方程式 (7) の最初の積分との間の正確な関係は何か？
• RQ4 適切な単位根を選択することにより、パラメータ $\alpha$ を調整することで、最初の積分の最小次数を体系的に増加させられるか？
• RQ5 構成された最初の積分は真に最小であるか、消滅作用素のような代数的技法を用いてその最小性を厳密に検証できるか？

主な発見

• 任意の自然数 $N$ に対して、$\alpha = \alpha_N$ とおくと、ダーボウックス可積分であり、両方向で最小次数 $N$ または $N+1$ の最初の積分をもつ離散方程式 (6) が存在する。
• 線形化方程式 (7) の明示的構成 $\hat{W}_1$ および $\hat{W}_2$ により、$n$-方向の最初の積分の最小次数は $N+1$、$m$-方向は $N$ であることが示された。
• 非線形方程式 (6) の最初の積分 $W_1$ および $W_2$ は、離散ホフ・コール変換を介して線形ケースから導出され、それぞれの次数が $N+1$ および $N$ に保たれる。
• $N=1$ の場合、最小次数はそれぞれ 2 および 1 であり、$W_1$ および $W_2$ の明示的表現が提供され、最小性が確認された。
• $N=2=2$ の場合、最小次数はそれぞれ 3 および 2 であり、対応する最初の積分が明示的に計算され、再び消滅作用素法により最小性が検証された。
• 本稿では、消滅作用素技法を用いて、構成された最初の積分が最小であることを確認し、より低い次数の最初の積分が存在しないことを裏付けた。