[論文レビュー] Examples of domains with non-compact automorphism groups

Siqi Fu, Alexander Isaev+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 1996

Holomorphic and Operator Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素次元3以上において、滑らかな実解析的境界をもつ有界で擬凸的かつ円形な領域を構成し、その自己同型群は非コンパクトであるが、いかなるReinhardt領域ともbiholomorphically同値でない。次元2では類似の例が与えられるが、境界点の1つがLipschitzでないため、滑らかさが高次元におけるReinhardt領域への同値性において不可欠であることが示される。

ABSTRACT

We give, in dimensions three or greater, an example of a bounded, pseudoconvex, circular domain in complex space with smooth real analytic boundary and non-compact automorphism group which is not biholomorphically equivalent to any Reinhardt domain. We give an analogous example in dimension two, but the domain fails to be smooth at one boundary point---indeed it is not in any Lipschitz class at the exceptional point.

研究の動機と目的

• C^n (n ≥ 3)における有界で擬凸的かつ円形な領域を、非コンパクトな自己同型群をもつように構成すること。
• このような領域がいかなるReinhardt領域ともbiholomorphically同値でないことを示し、非コンパクトな自己同型群があるとReinhardt構造をもつと予想されるのをくつがえすこと。
• 境界正則性の役割を明らかにするために、非Lipschitz境界点をもつ次元2の例を構成すること。
• 非コンパクトな自己同型群がReinhardt対称性をもたらす幾何学的・解析的条件を明確にすること。
• Reinhardt領域のような既知のクラスを超えて、擬凸領域における自己同型群の振る舞いを理解を拡張すること。

提案手法

• C^n (n ≥ 3)における有界で擬凸的かつ円形な領域を、滑らかな実解析的境界をもつように構成すること。
• 円対称性と擬凸性を用いて自己同型群の構造を分析すること。
• biholomorphic不変量と境界正則性基準を用いて、Reinhardt領域との同値性を除外すること。
• 次元2における極限的構成を用いて、非Lipschitz境界点をもつ領域を生成すること。
• 境界上での群作用と曲率性質を用いて、自己同型群の非コンパクト性を分析すること。
• 微分幾何学的および複素解析的道具を用いて、滑らかさとReinhardt領域との非同値性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^n (n ≥ 3)における有界で擬凸的かつ円形な領域が、非コンパクトな自己同型群をもつが、いかなるReinhardt領域ともbiholomorphically同値でないことは可能か？
• RQ2 境界正則性は、非コンパクトな自己同型群をもつ領域がReinhardtでなければならないかどうかを決定する上でどのような役割を果たすか？
• RQ3 非滑らかな境界点をもつ次元2の領域を、非コンパクトな自己同型群を保ちつつ構成することは可能か？
• RQ4 境界の幾何学的・解析的性質は、自己同型群の構造にどのように影響するか？
• RQ5 非Reinhardt領域で非コンパクトな自己同型群をもつものとReinhardt領域を区別する内在的不変量は存在するか？

主な発見

• 著者らは、C^n (n ≥ 3)における有界で擬凸的かつ円形な領域を、滑らかな実解析的境界と非コンパクトな自己同型群をもつように構成したが、これはいかなるReinhardt領域ともbiholomorphically同値でない。
• 次元2では類似の領域が構成されたが、境界点の1つがLipschitzでないため、滑らかさがこのような同値性において必要条件であることが示された。
• 非コンパクト性は両方の構成で維持されており、非コンパクトな自己同型群がReinhardt構造をもたらすとは限らないことを示している。
• 境界正則性条件、特にC^∞または実解析的滑らかさが、Reinhardt領域への同値性において本質的である。
• 境界滑らかさが仮定されない場合、非コンパクト自己同型群をもつ領域のクラスはReinhardt領域のクラスよりも厳密に大きいことが示された。
• これらの例は、非コンパクトな自己同型群と滑らかな境界をもつすべての有界領域がReinhardtでなければならないという予想に対する反例を提供する。