[論文レビュー] Examples of extremal quasiconvex quadratic forms that are not polyconvex

Davit Harutyunyan, Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2014

Composite Material Mechanics参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、四階テンソルが完全な立方対称性ではなく、巡回的および軸対称性のみを示す場合に、極値の擬凸な二次形式が存在することを示しており、この場合、擬凸性は多重凸性を意味しない。また、任意の領域上でこれらの形式の積分に鋭い境界を与える非アフィン境界条件を同定している。

ABSTRACT

We prove that if the associated fourth order tensor of a quadratic form has a linear elastic cubic symmetry then it is quasiconvex if and only if it is polyconvex, i.e. a sum of convex and null-Lagrangian quadratic forms. We prove that allowing for slightly less symmetry, namely only cyclic and axis-reflection symmetry, gives rise to a class of extremal quasiconvex quadratic forms, that are not polyconvex. Non-affine boundary conditions on the potential are identified which allow one to obtain sharp bounds on the integrals of these extremal quasiconvex quadratic forms of $ abla u$ over an arbitrary region.

研究の動機と目的

• 完全な立方対称性より弱い対称性条件下で、二次形式について擬凸性が多重凸性を意味するかを調査すること。
• 対称性の高い場合とは異なり、多重凸性でない極値の擬凸二次形式のクラスを同定することで、非対称な状況における擬凸性と多重凸性の等価性に疑問を呈すること。
• 任意の領域上でそのような極値形式の積分に鋭い境界を与える非アフィン境界条件を特定すること。

提案手法

• 巡回的および軸対称性の下での二次形式に関連する四階テンソルの構造を分析する。
• ゼロラグランジアンの理論と凸性の理論を適用して、二次形式を多重凸またはそれ以外に分類する。
• 対称性の低減を用いて、多重凸でないが擬凸である形式の明示的例を構成する。
• ポテンシャル関数に特定の非アフィン境界条件を課すことにより、これらの形式の積分に対する鋭い境界を導出する。
• 変分法を用いて境界データと最適な積分推定値との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な立方対称性ではなく、巡回的および軸対称性のみが存在する場合、二次形式について擬凸性は多重凸性を意味するか？
• RQ2 対称性が低下した状況下でも、極値の擬凸二次形式が多重凸でない形で存在可能か？
• RQ3 任意の領域上でそのような極値形式の積分に鋭い境界を与えるポテンシャル関数の非アフィン境界条件は何か？
• RQ4 四階テンソルの対称性の性質は、関連する二次形式の擬凸性および多重凸性にどのように影響するか？

主な発見

• 完全な立方対称性下では、二次形式について擬凸性と多重凸性が同値である。
• 対称性が巡回的および軸対称性への低減にまで及ぶと、多重凸でない極値の擬凸二次形式が存在する。
• このような極値形式は、多重凸性を強制するのに十分な対称性が失われることに起因する。
• 任意の領域上でこれらの極値形式の積分に鋭い境界を与える非アフィン境界条件が同定された。
• 指定された境界データのもとで変分解析を用いて鋭い境界が導出され、エネルギー積分の最適推定値が得られた。